Алгебра 8 (Феоктистов) — тренажёр по разложению на множители и ОДЗ
Тема: Рациональные дроби & Разложение на множители
Серия: 0 🔥
Очки: 0
Решено: 0
Таймер:
Задача 1
Какой метод применить первым?
x² - 9x + 14
Бесконечный генератор трехчленов
Разбиение среднего члена методом группировки
Разложите на множители:
x² - 9x + 14
Шаг 1: Подберите числа p и q
Сумма: p + q = -9
Произведение: p · q = +14
✨ Шаг 2: Красота группировки в тетради
Мини-игра: «Найди пару делителей» (Без подсказок!)
Определите в уме, какая пара даёт заданную сумму
Произведение (p · q)
-24
Сумма (p + q)
-10
Выберите пару множителей, удовлетворяющую обоим условиям:
Таблица квадратов до 25 и кубов (Маткласс)
В физмат школах эти числа узнают моментально:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
25² = 625
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125
Практикум: Реальные дроби (ОДЗ)
Алгоритмическая генерация: решайте и вводите ответ сами!
При каких значениях переменной дробь имеет смысл?
12
x² - 81
📖 Шпаргалка маткласса (Углублённый уровень)
Всё, что нужно держать в голове: от вечной путаницы в формулах до всех 6 боевых кейсов ОДЗ.
⚔️ Битва формул: как перестать путать «Разность квадратов» и «Квадрат разности»
Эту ошибку совершают 90% школьников. Запомните разницу по количеству слагаемых:
1. Разность квадратов
a² - b² = (a - b)(a + b)
- Признак: ВСЕГО 2 слагаемых, между ними МИНУС.
- Результат: Две скобки с РАЗНЫМИ знаками (минус и плюс).
- Пример: x² - 49 = (x - 7)(x + 7)
- Пример: 16x² - 9 = (4x - 3)(4x + 3)
- ⚠️ Ловушка: a² + b² (с плюсом) НЕ раскладывается!
2. Квадрат суммы или разности
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
- Признак: ВСЕГДА 3 слагаемых!
- Посередине обязательно удвоенное произведение (2·a·b).
- Квадрат разности: x² - 6x + 9 = (x - 3)²
- Квадрат суммы: x² + 10x + 25 = (x + 5)²
- С коэффициентом: 4x² - 12x + 9 = (2x - 3)²
💡 Лайфхак на 1 секунду: Видишь 2 слагаемых с минусом → a² - b². Видишь 3 слагаемых → проверяй (a ± b)² или метод группировки!
🎯 Атлас: Все 6 архетипов задач на ОДЗ дробей
Кейс 1. Разность квадратов в знаменателе
2 корня: ±a
Дробь вида 12 / (x² - 81) или 5 / (4x² - 25).
1) Знаменатель ≠ 0: x² - 81 = (x - 9)(x + 9) ≠ 0
2) Приравниваем каждую скобку к 0 ⇒ x ≠ ±9
⚠️ Не теряйте знак минус: (-9)² тоже равно 81! Если стоит 4x² - 25 ⇒ 2x = ±5 ⇒ x ≠ ±2.5.
2) Приравниваем каждую скобку к 0 ⇒ x ≠ ±9
⚠️ Не теряйте знак минус: (-9)² тоже равно 81! Если стоит 4x² - 25 ⇒ 2x = ±5 ⇒ x ≠ ±2.5.
Кейс 2. Квадратный трехчлен (Разбиение среднего члена)
2 разных корня
Дробь вида (x² + 1) / (x² - 9x + 14). В сентябре 8 класса дискриминант еще не проходили — решаем группировкой!
1) Ищем два числа: сумма p + q = -9, произведение p · q = 14.
2) Числа: -2 и -7. Разбиваем средний член: x² - 2x - 7x + 14 = x(x - 2) - 7(x - 2) = (x - 2)(x - 7) ≠ 0.
3) Ответ: x ≠ 2 и x ≠ 7 (знаки в ответе противоположны знакам в скобках!). Числитель x²+1 игнорируем.
2) Числа: -2 и -7. Разбиваем средний член: x² - 2x - 7x + 14 = x(x - 2) - 7(x - 2) = (x - 2)(x - 7) ≠ 0.
3) Ответ: x ≠ 2 и x ≠ 7 (знаки в ответе противоположны знакам в скобках!). Числитель x²+1 игнорируем.
Кейс 3. Коварная ловушка «Квадрат + положительное число»
Любое x ∈ ℝ
Дробь вида (x² - 25) / (x² + 25). Любимая ловушка учителей на контрольных!
1) Ловушка в числителе: x² - 25 = 0 при x = ±5, но числитель МОЖЕТ быть нулем (0 / 50 = 0, дробь имеет смысл!).
2) В знаменателе: x² ≥ 0 при любом x ⇒ x² + 25 ≥ 25 > 0. Ноль невозможен ни при каком x!
3) Ответ: дробь имеет смысл при любом x ∈ ℝ (ограничений нет).
2) В знаменателе: x² ≥ 0 при любом x ⇒ x² + 25 ≥ 25 > 0. Ноль невозможен ни при каком x!
3) Ответ: дробь имеет смысл при любом x ∈ ℝ (ограничений нет).
Кейс 4. Вынесение переменной (Кубический знаменатель)
3 корня: 0, ±a
Дробь вида 18 / (y³ - 64y).
1) Сначала ВСЕГДА выносим общий множитель y: y(y² - 64) ≠ 0
2) Раскладываем скобку: y(y - 8)(y + 8) ≠ 0
3) Ответ: y ≠ 0, y ≠ ±8.
⚠️ Главная ошибка: забыть про вынесенный y и потерять корень 0!
2) Раскладываем скобку: y(y - 8)(y + 8) ≠ 0
3) Ответ: y ≠ 0, y ≠ ±8.
⚠️ Главная ошибка: забыть про вынесенный y и потерять корень 0!
Кейс 5. Двухэтажные дроби (Два уровня ограничений)
Скрытый знаменатель
Дробь вида 1 / (x - 4/x). Здесь деление происходит ДВАЖДЫ!
1) Внутренний знаменатель: в дроби 4/x нельзя делить на ноль ⇒ x ≠ 0.
2) Главный знаменатель: x - 4/x = (x² - 4)/x ≠ 0 ⇒ x² - 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2.
3) Итоговый ответ: x ≠ 0 и x ≠ ±2.
2) Главный знаменатель: x - 4/x = (x² - 4)/x ≠ 0 ⇒ x² - 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2.
3) Итоговый ответ: x ≠ 0 и x ≠ ±2.
Кейс 6. Модуль в знаменателе
Свойство y² = |y|²
Дроби вида 3y / (|y| - 1) и 2 / (y² - 5|y|).
• Для |y| - 1 ≠ 0 ⇒ |y| ≠ 1 ⇒ y ≠ ±1 (модуль раскрывается с плюсом и минусом).
• Для y² - 5|y|: вспоминаем тождество y² = |y|² ⇒ |y|² - 5|y| = |y|(|y| - 5) ≠ 0.
Отсюда: |y| ≠ 0 (y ≠ 0) и |y| ≠ 5 (y ≠ ±5). Итог: y ≠ 0 и y ≠ ±5.
• Для y² - 5|y|: вспоминаем тождество y² = |y|² ⇒ |y|² - 5|y| = |y|(|y| - 5) ≠ 0.
Отсюда: |y| ≠ 0 (y ≠ 0) и |y| ≠ 5 (y ≠ ±5). Итог: y ≠ 0 и y ≠ ±5.
🔥 Спецприём Феоктистова: Вынесение составного двучлена (№ 12 «е»)
В задаче (2y + 1)³ - (8y + 4) ни в коем случае не раскрывайте куб!
1) Заметьте, что 8y + 4 = 4(2y + 1).
2) Выносим всю скобку (2y + 1) за скобки: (2y + 1) · [(2y + 1)² - 4] ≠ 0.
3) Во второй скобке мгновенно разность квадратов: [(2y + 1) - 2][(2y + 1) + 2] = (2y - 1)(2y + 3).
4) Корни: 2y + 1 = 0 ⇒ y ≠ -0.5; 2y - 1 = 0 ⇒ y ≠ 0.5; 2y + 3 = 0 ⇒ y ≠ -1.5.
2) Выносим всю скобку (2y + 1) за скобки: (2y + 1) · [(2y + 1)² - 4] ≠ 0.
3) Во второй скобке мгновенно разность квадратов: [(2y + 1) - 2][(2y + 1) + 2] = (2y - 1)(2y + 3).
4) Корни: 2y + 1 = 0 ⇒ y ≠ -0.5; 2y - 1 = 0 ⇒ y ≠ 0.5; 2y + 3 = 0 ⇒ y ≠ -1.5.
Блиц-тренажёр таблицы умножения
Отработка автоматизма для быстрого разложения трехчленов
Набор:
Цифра:
Таймер:
Сколько будет?
7 × 8 = ?
Интерактивная Таблица Пифагора
Квадраты чисел по главной диагонали выделены рамкой
Нажмите на любое число, чтобы подсветить его множители.
📚 Все примеры таблицы умножения (Справочник)
Все 8 столбиков от 2 до 9 для быстрой проверки:
Умножение на 2
2 × 2 = 42 × 3 = 6
2 × 4 = 8
2 × 5 = 10
2 × 6 = 12
2 × 7 = 14
2 × 8 = 16
2 × 9 = 18
Умножение на 3
3 × 2 = 63 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
3 × 7 = 21
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
Умножение на 4
4 × 2 = 84 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24
4 × 7 = 28
4 × 8 = 32
4 × 9 = 36
Умножение на 5
5 × 2 = 105 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
5 × 6 = 30
5 × 7 = 35
5 × 8 = 40
5 × 9 = 45
Умножение на 6 🔥
6 × 2 = 126 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30
6 × 6 = 36
6 × 7 = 42
6 × 8 = 48
6 × 9 = 54
Умножение на 7 🔥
7 × 2 = 147 × 3 = 21
7 × 4 = 28
7 × 5 = 35
7 × 6 = 42
7 × 7 = 49
7 × 8 = 56
7 × 9 = 63
Умножение на 8 🔥
8 × 2 = 168 × 3 = 24
8 × 4 = 32
8 × 5 = 40
8 × 6 = 48
8 × 7 = 56
8 × 8 = 64
8 × 9 = 72
Умножение на 9 🔥
9 × 2 = 189 × 3 = 27
9 × 4 = 36
9 × 5 = 45
9 × 6 = 54
9 × 7 = 63
9 × 8 = 72
9 × 9 = 81