§ 12. Расчёт количества теплоты. Уравнение теплового баланса

РАСЧЁТ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ ПРИ НАГРЕВАНИИ И ОХЛАЖДЕНИИ

Зная удельную теплоёмкость вещества $c$, массу тела $m$ и диапазон изменения его температуры, можно точно рассчитать количество энергии, передаваемой в процессе теплообмена:

1. Количество теплоты при нагревании тела:

Когда тело нагревается от начальной температуры $t_1$ до более высокой конечной температуры $t_2$ ($t_2 > t_1$), оно поглощает энергию извне. Расчётная формула имеет вид:

В этой формуле разность $(t_2 - t_1)$ положительна, и полученное количество теплоты $Q$ представляет собой энергию, поступившую в тело и увеличившую его внутреннюю энергию.

1. Количество теплоты при охлаждении тела:

Если тело остывает, его конечная температура $t_2$ оказывается ниже начальной температуры $t_1$ ($t_2 < t_1$). В этом случае тело само отдаёт теплоту в окружающую среду, а его внутренняя энергия уменьшается. Чтобы значение отданной энергии оставалось положительным числом, из большей температуры вычитают меньшую:

По абсолютной величине количество теплоты, отданное телом при остывании на $\Delta t$ градусов, в точности равно количеству теплоты, которое потребовалось бы передать этому же телу для его нагрева на то же число градусов.

НАГРЕВАНИЕ СОСТАВНЫХ СИСТЕМ (СОСУД С ЖИДКОСТЬЮ)

В реальных физических экспериментах и повседневной жизни теплота часто передаётся не одному изолированному телу, а целой системе соприкасающихся тел. Классический пример — нагревание воды в металлическом чайнике или алюминиевом котелке на костре.

Поскольку котелок и налитая в него вода находятся в прямом тепловом контакте, теплообмен между ними приводит к тому, что в любой момент времени их температуры можно считать практически одинаковыми. Пламя горелки или костра отдаёт энергию одновременно обоим телам.

Общее количество теплоты $Q$, затраченное на процесс нагревания всей системы, складывается из двух независимых слагаемых:

• Теплота, поглощённая материалом котелка: $Q_1 = c_1 m_1 (t_2 - t_1)$;
• Теплота, поглощённая нагреваемой водой: $Q_2 = c_2 m_2 (t_2 - t_1)$.

Полный расход тепловой энергии рассчитывается по формуле сложения:

Если масса воды задана через её объём $V$, то предварительно находят массу воды через плотность: $m_2 = \rho \cdot V$ (для чистой воды плотность $\rho = 1000 \text{ кг}/\text{м}^3$, поэтому 1 литр воды имеет массу ровно 1 кг).

ТЕПЛООБМЕН В ИЗОЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ: ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Рассмотрим процесс, происходящий при смешивании двух тел разной температуры внутри теплоизолированного сосуда — например, термокружки или специального прибора калориметра:

• В сосуд наливают горячую воду массой $m_1$ при температуре $t_1$ (например, кипяток $100 \text{ °C}$) и добавляют холодную воду массой $m_2$ при температуре $t_2$ (например, $10 \text{ °C}$).
• Между горячей и холодной водой мгновенно начинается активный теплообмен: молекулы горячей воды передают часть своей кинетической энергии более медленным молекулам холодной воды.
• Через некоторое время в смеси устанавливается единая промежуточная температура теплового равновесия $t$ (в опыте — $70 \text{ °C}$).

Если рассчитать количество теплоты, отданное горячей водой при остывании от $100 \text{ °C}$ до $70 \text{ °C}$ ($Q_{\text{отд}} = c m_1 (t_1 - t)$), и количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании от $10 \text{ °C}$ до $70 \text{ °C}$ ($Q_{\text{пол}} = c m_2 (t - t_2)$), то точные вычисления покажут:

Отданное горячим телом тепло в точности совпадает с теплом, приобретённым холодным телом! Это равенство не является случайным совпадением — оно отражает фундаментальный закон природы.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА И ЕГО ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

• Закон сохранения энергии в тепловых процессах: Энергия не возникает из ничего и не исчезает бесследно; она лишь переходит от одних тел к другим или превращается из одного вида в другой.
• Формулировка правила теплового баланса: Если теплообмен происходит в замкнутой (изолированной) системе тел, которая не обменивается теплотой с окружающей средой, то количество теплоты, отданное одними телами системы, в точности равно количеству теплоты, полученному другими телами этой системы.

Математическая запись:

Это фундаментальное соотношение называется уравнением теплового баланса.

Практическое применение в науке и технике:

1. Нахождение равновесной температуры смеси ($t$): Зная массы и начальные температуры смешиваемых жидкостей, с помощью уравнения баланса можно заранее рассчитать, до какой температуры прогреется или остынет смесь.
2. Определение удельной теплоёмкости твердых тел (метод калориметрии):
   • Твёрдое тело неизвестного состава (например, металлическую деталь массой $m_{\text{т}}$) нагревают в кипящей воде до известной температуры $t_{\text{т}} = 100 \text{ °C}$.
   • Затем деталь быстро опускают в калориметр с холодной водой известной массы $m_{\text{в}}$ при температуре $t_{\text{в}}$.
   • После наступления теплового равновесия измеряют общую температуру смеси $t$.
   • Составляют уравнение теплового баланса: $c_{\text{т}} m_{\text{т}} (t_{\text{т}} - t) = c_{\text{в}} m_{\text{в}} (t - t_{\text{в}})$. Отсюда легко вычисляют неизвестную удельную теплоёмкость детали: $c_{\text{т}} = \frac{c_{\text{в}} m_{\text{в}} (t - t_{\text{в}})}{m_{\text{т}} (t_{\text{т}} - t)}$.

Учёт реальных тепловых потерь:

В реальных условиях часть энергии неизбежно передаётся стенкам сосуда, термометру и окружающему воздуху. Чтобы минимизировать эти потери, лабораторные калориметры изготавливают из двух сосудов, разделённых воздушной или вакуумной прослойкой (термос), а при высокоточных расчётах теплоёмкость самого внутреннего стакана калориметра включают в правую часть уравнения как ещё одно поглощающее тело ($Q_{\text{кал}} = c_{\text{к}} m_{\text{к}} (t - t_{\text{в}})$).