§ 41. Расчёт сопротивления проводника. Удельное сопротивление

ОТ ЧЕГО ЗАВИСИТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

При протекании постоянного тока по металлическому проводнику свободные электроны совершают направленное движение под действием сил электрического поля. Однако их путь не является свободным: электроны непрерывно сталкиваются с положительными ионами кристаллической решётки. Каждое такое столкновение замедляет упорядоченный дрейф зарядов и передаёт часть кинетической энергии электрона решётке проводника, что макроскопически проявляется как электрическое сопротивление.

Ионы кристаллической решётки у разных металлов имеют неодинаковые электрические заряды, различные размеры и упакованы на разных расстояниях друг от друга. По этой причине свободные электроны взаимодействуют с решёткой в каждом веществе совершенно по-разному. Немецкий физик Георг Ом экспериментально исследовал, от каких конкретных параметров зависит сопротивление проводника, и установил три ключевых фактора:

• Длина проводника: чем протяжённее путь, который преодолевают электроны, тем большему числу тормозящих соударений они подвергаются;
• Площадь поперечного сечения (толщина проводника): чем шире проводник, тем больше свободного пространства доступно для одновременного параллельного дрейфа электронов, и общее сопротивление падает;
• Род вещества проводника: внутреннее строение кристаллической решётки и концентрация свободных носителей заряда определяют индивидуальную способность материала оказывать сопротивление току.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАВИСИМОСТЕЙ

Для наглядного подтверждения теоретических выводов Ома в лабораторных условиях собирают электрическую цепь с демонстрационной панелью проводников (рис. 102). В цепь последовательно включают источник тока, амперметр, ключ и исследуемый проводник, а параллельно проводнику подсоединяют вольтметр. По показаниям приборов и закону Ома ($R = U / I$) сравнивают сопротивления различных образцов:

1. Зависимость от длины: берут два проводника из одного и того же металла (никелина) одинаковой толщины, но разной длины. Измерения показывают: проводник вдвое большей длины обладает ровно вдвое большим сопротивлением. Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине: $R \sim l$.
2. Зависимость от толщины (сечения): исследуют два никелиновых проводника равной длины, но с разной площадью поперечного сечения. Опыт подтверждает: у более толстого провода сопротивление оказывается пропорционально меньше. Сопротивление проводника обратно пропорционально площади его поперечного сечения: $R \sim 1 / S$.
3. Зависимость от материала: подключают два проводника абсолютно одинаковой длины и одинакового сечения, но изготовленные из разных сплавов (никелина и нихрома). Сила тока в нихроме оказывается значительно меньше, а рассчитанное сопротивление — в несколько раз выше, что доказывает зависимость сопротивления от рода вещества.

УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВА

Чтобы количественно охарактеризовать способность конкретного вещества препятствовать прохождению электрического тока, в физику введена специальная величина:

• Удельное электрическое сопротивление ($\rho$, читается «ро») — это физическая величина, численно равная электрическому сопротивлению проводника единичной длины и единичной площади поперечного сечения, изготовленного из данного вещества.

Удельное сопротивление является внутренней характеристикой самого материала (при заданной температуре) и не зависит от длины или формы изготовленной из него детали.

Формула для расчёта удельного сопротивления:

Единицы измерения удельного сопротивления:

• В Международной системе единиц (СИ): поскольку сопротивление измеряется в омах (Ом), площадь сечения — в квадратных метрах ($м^2$), а длина — в метрах (м), единицей в СИ служит ом-метр ($Ом \cdot м$):

• Практическая внесистемная единица: на практике площадь поперечного сечения тонких монтажных проводов и спиралей крайне неудобно выражать в квадратных метрах (получаются неудобные малые числа порядка $10^{-6} \text{ м}^2$). Поэтому сечение обычно задают в квадратных миллиметрах ($мм^2$), а удельным сопротивлением считают сопротивление проводника длиной 1 метр и площадью сечения 1 $мм^2$:

• Связь между единицами:

Физический смысл табличного значения:

Если в справочнике указано, что удельное сопротивление меди равно $0{,}017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, это означает: медный провод длиной ровно 1 метр и площадью поперечного сечения 1 $мм^2$ обладает электрическим сопротивлением $0{,}017$ Ом (при температуре $20\ ^\circ\text{C}$).

ФОРМУЛА РАСЧЁТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКА

Зная материал проводника ($\rho$), его длину ($l$) и площадь поперечного сечения ($S$), электрическое сопротивление рассчитывают по базовой формуле:

где:

• $R$ — электрическое сопротивление проводника (Ом);
• $\rho$ — удельное электрическое сопротивление вещества ($\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ или $\text{Ом} \cdot \text{м}$);
• $l$ — длина проводника (м);
• $S$ — площадь поперечного сечения проводника ($мм^2$ или $м^2$, размерность должна строго согласовываться с размерностью $\rho$!).

Производные формулы для практических расчётов:

1. Длина проводника через его сопротивление:

1. Требуемая площадь поперечного сечения:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ С РАЗНЫМ $\rho$

В электротехнике вещества подбирают строго под функциональное назначение прибора:

1. Проводники с минимальным удельным сопротивлением:
   • Серебро ($0{,}016$), медь ($0{,}017$), золото ($0{,}024$), алюминий ($0{,}028$): обладают наилучшей проводимостью. Они обеспечивают минимальные потери энергии на нагревание. Медь и алюминий служат главными промышленными материалами для силовых кабелей, воздушных линий электропередач (ЛЭП) и обмоток трансформаторов. Серебро и золото применяют в высоконадёжных контактах микроэлектроники, где недопустимо окисление.
2. Конструкционные металлы со средним сопротивлением:
   • Железо ($0{,}10$), свинец ($0{,}21$): применяются в каркасных конструкциях, контактных рельсах метрополитена и плавких предохранителях.
3. Специальные сплавы с высоким удельным сопротивлением:
   • Никелин ($0{,}40$), манганин ($0{,}43$), константан ($0{,}50$), нихром ($1{,}1$), фехраль ($1{,}3$): благодаря высокому сопротивлению и тугоплавкости эти сплавы сильно разогреваются при прохождении тока и не окисляются на воздухе при высоких температурах. Их используют для нагревательных спиралей в электрических плитках, чайниках, утюгах, муфельных печах, а также для изготовления регулировочных реостатов и точных измерительных магазинов сопротивлений.
4. Диэлектрики и изоляторы:
   • Графит ($13$), фарфор ($10^{17}$), эбонит ($10^{20}$): вещества с колоссальным сопротивлением, практически не содержащие свободных зарядов при нормальных условиях. Фарфор и эбонит защищают человека от поражения током и используются для изоляторов высоковольтных линий и корпусов электроприборов.