§ 41. Расчёт сопротивления проводника. Удельное сопротивление

• 1. Длина проводника ($l$) — сопротивление прямо пропорционально длине: чем длиннее провод, тем больше соударений испытывают свободные электроны с ионами решётки ($R \sim l$).
• 2. Площадь поперечного сечения ($S$) — сопротивление обратно пропорционально площади сечения: чем толще провод, тем шире фронт движения и тем свободнее протекает поток электронов ($R \sim \frac{1}{S}$).
• 3. Род вещества (материал) — сопротивление зависит от межионных расстояний, концентрации свободных электронов и строения кристаллической решётки конкретного металла.

$$R = \frac{\rho l}{S}$$

где:

• $R$ — электрическое сопротивление проводника (Ом);
• $\rho$ (греческая буква «ро») — удельное сопротивление вещества;
• $l$ — длина проводника (м);
• $S$ — площадь поперечного сечения проводника (м² или мм²).

физическая величина, численно равная сопротивлению проводника единичной длины и единичной площади поперечного сечения, изготовленного из данного материала:

• 1. Формула вычисления — $\rho = \frac{R \cdot S}{l}$.
• 2. Единица в СИ — ом-метр ($\text{Ом} \cdot \text{м}$): сопротивление проводника длиной $1\text{ м}$ и площадью сечения $1\text{ м}^2$.
• 3. Практическая единица — $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$: сопротивление проводника длиной $1\text{ м}$ и сечением $1\text{ мм}^2$. Связь единиц: $1\text{ }\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 10^{-6}\text{ Ом} \cdot \text{м}$.

• 1. Сверхпроводящие металлы и проводники с малым $\rho$ — серебро ($0{,}016$), медь ($0{,}017$), золото ($0{,}024$), алюминий ($0{,}028\text{ }\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$). Применяются для монтажа линий электропередачи (ЛЭП), обмоток трансформаторов и кабелей.
• 2. Сплавы с высоким удельным сопротивлением — никелин ($0{,}40$), манганин ($0{,}43$), константан ($0{,}50$), нихром ($1{,}1$), фехраль ($1{,}3\text{ }\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$). Применяются для спиралей электронагревательных приборов, резисторов и реостатов.
• 3. Диэлектрики (изоляторы) — фарфор ($10^{17}\text{ Ом} \cdot \text{м}$), эбонит ($10^{20}\text{ Ом} \cdot \text{м}$). Практически не проводят электрический ток.

Немецкий физик и педагог, экспериментально открывший закон зависимости электрического сопротивления проводника от его длины, площади сечения и материала, заложивший основы практического расчёта электрических цепей.

• Экспериментально установил, что электрическое сопротивление однородного металлического проводника прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади его поперечного сечения.
• Провёл серию точных опытов с проводниками из различных металлов и сплавов (никелина, нихрома), доказав зависимость сопротивления от рода вещества и заложив основу понятия удельного сопротивления.
• Использовал для наглядного объяснения механизма электрического сопротивления и силы тока гидродинамическую аналогию с течением воды по трубам разной длины и диаметра.

• От длины проводника: сопротивление проводника прямо пропорционально его длине. При увеличении длины проводника в 2, 3, $n$ раз его электрическое сопротивление возрастает ровно во столько же раз ($R \sim l$).
• От площади поперечного сечения: сопротивление проводника обратно пропорционально площади его поперечного сечения. При увеличении толщины (площади сечения) проводника в 2, 3, $n$ раз его сопротивление уменьшается во столько же раз ($R \sim \frac{1}{S}$).

Для строгого научного установления независимых функциональных зависимостей (метод варьирования одного параметра при фиксации остальных) на демонстрационном стенде используют четыре проводника:

• 1) Два проводника из одного материала (никелина) одинакового сечения, но разной длины — позволяют в чистом виде доказать прямую пропорциональность сопротивления длине ($R \sim l$).
• 2) Два проводника из одного материала (никелина) одинаковой длины, но разной площади сечения — позволяют экспериментально подтвердить обратную пропорциональность сопротивления площади сечения ($R \sim \frac{1}{S}$).
• 3) Два проводника одинаковой длины и одинакового сечения, но изготовленные из разных веществ (никелина и нихрома) — доказывают зависимость сопротивления от природы вещества (материала проводника).

Удельное сопротивление показывает, каким электрическим сопротивлением обладает проводник длиной $1\text{ м}$ и площадью поперечного сечения $1\text{ м}^2$ (или $1\text{ мм}^2$ в практических расчётах), изготовленный из данного химического вещества или сплава.

Сопротивление однородного проводника постоянного сечения рассчитывают по формуле:

$$R = \frac{\rho l}{S}$$

где:

• $R$ — сопротивление проводника (Ом);
• $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала ($\text{Ом} \cdot \text{м}$ или $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$);
• $l$ — длина проводника (м);
• $S$ — площадь поперечного сечения (м² или мм²).

• Основной единицей удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) является ом-метр ($\text{Ом} \cdot \text{м}$).
• В практической электротехнике, где площадь поперечного сечения проводов выражают в квадратных миллиметрах, широко используется внесистемная единица:

$$\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$$

Соотношение между ними: $1\text{ }\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 10^{-6}\text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Это означает, что медный проводник длиной $1\text{ м}$ и площадью поперечного сечения $1\text{ м}^2$ обладает электрическим сопротивлением, равным $1{,}7 \cdot 10^{-8}\text{ Ом}$.

• В практических единицах это эквивалентно тому, что медная проволока длиной $1\text{ м}$ и площадью поперечного сечения $1\text{ мм}^2$ имеет сопротивление всего $0{,}017\text{ Ом}$.

В гидродинамической аналогии Георга Ома (рис. 103 учебника):

• 1) Разность уровней воды между верхним и нижним сосудами аналогична электрическому напряжению ($U$): чем больше перепад уровней, тем больше сила давления жидкости, заставляющая воду течь быстрее (подобно работе электрического поля).
• 2) Количество воды, протекающее через поперечное сечение соединительной трубки в единицу времени (расход воды), аналогично силе электрического тока ($I$).
• 3) Геометрические параметры соединительной наклонной трубки (её длина и внутренний просвет/диаметр), а также вязкое трение воды о стенки моделируют электрическое сопротивление проводника ($R$): чем длиннее и уже трубка, тем медленнее течёт вода, что в точности соответствует зависимости $R = \frac{\rho l}{S}$.