§ 18. Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение

прямолинейное механическое движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

• 1. Постоянство ускорения — главный кинематический признак равноускоренного движения: вектор ускорения тела остаётся строго неизменным по модулю и направлению на протяжении всего времени движения ($\vec{a} = \text{const}$).
• 2. Примеры в природе и технике — скатывание стального шарика по наклонному жёлобу, свободное падение тел в воздухе при пренебрежимо малом сопротивлении, разгон автомобиля или электропоезда на прямолинейном горизонтальном перегоне при постоянной тяге двигателей.
• 3. Два режима движения — ускоренное (разгон, модуль скорости растёт со временем) и замедленное (торможение, модуль скорости монотонно убывает до полной остановки).

физическая векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела и численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

• 1. Формула расчёта — $a = \frac{v - v_0}{t}$, где $v_0$ — начальная скорость тела в момент отсчёта времени $t = 0$, $v$ — конечная скорость через интервал времени $t$, а $(v - v_0)$ — приращение (изменение) скорости. Обозначается буквой $a$ (от лат. acceleratio — ускорение).
• 2. Физический смысл — показывает, на какую величину изменяется скорость тела за одну секунду (единицу времени).
• 3. Единица измерения в СИ — метр на секунду в квадрате ($\text{м/с}^2$); ускорение $1\text{ м/с}^2$ означает, что за каждую секунду скорость тела изменяется ровно на $1\text{ м/с}$.

направленность изменения вектора скорости в пространстве:

• 1. При увеличении скорости (разгоне) — вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и вектор скорости тела ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{v}$), проекция ускорения положительна ($a > 0$), так как $(v - v_0) > 0$.
• 2. При уменьшении скорости (торможении) — вектор ускорения направлен строго противоположно вектору скорости тела ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{v}$), проекция ускорения отрицательна ($a < 0$), так как $(v - v_0) < 0$.
• 3. Знак «минус» при расчётах — отрицательное значение ускорения физически указывает на процесс замедления перемещения тела вдоль выбранного направления оси.

кинематическое уравнение зависимости мгновенной скорости от времени:

• 1. Математический вид — $v = v_0 + at$, связывающий начальную скорость $v_0$, ускорение $a$ и время движения $t$.
• 2. Движение из состояния покоя — если в начальный момент времени тело покоилось ($v_0 = 0$), расчётная формула принимает вид: $v = at$.
• 3. Линейный характер зависимости — скорость при равноускоренном движении изменяется линейно во времени, графиком функции $v(t)$ является наклонная прямая.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения тела. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за каждую единицу времени (за одну секунду).

В Международной системе единиц (СИ) ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате ($\text{м/с}^2$).

Физический смысл единицы: ускорение $1\text{ м/с}^2$ свидетельствует о том, что скорость прямолинейно движущегося тела ежесекундно увеличивается (или уменьшается) ровно на $1\text{ м/с}$.

Скорость тела в любой момент времени $t$ определяется по кинематической формуле:

$$v = v_0 + at$$

где $v$ — скорость тела в момент времени $t$, $v_0$ — начальная скорость тела в момент начала отсчёта, $a$ — постоянное ускорение тела, $t$ — время, прошедшее от начала движения. Если начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$, движение из состояния покоя), формула упрощается до:

$$v = at$$

Знак ускорения (его проекции на направление движения) зависит от характера изменения величины скорости:

• Ускорение положительно ($a > 0$): в том случае, когда скорость движения тела со временем увеличивается (тело разгоняется). При этом конечная скорость превышает начальную ($v > v_0$), разность $(v - v_0) > 0$, а вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{v}$).
• Ускорение отрицательно ($a < 0$): в том случае, когда скорость движения тела со временем уменьшается (тело тормозит). При этом конечная скорость меньше начальной ($v < v_0$), разность $(v - v_0) < 0$, а вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{v}$). Знак «–» указывает на торможение.

Доказательство:

• Запишем определение ускорения через расчётную формулу:

$$a = \frac{v - v_0}{t}$$

• В числителе формулы стоит изменение скорости $\Delta v = v - v_0$, единицей которого в СИ является метр в секунду ($\text{м/с}$).
• В знаменателе формулы стоит интервал времени $t$, единицей которого в СИ является секунда ($\text{с}$).
• Подставим размерности единиц физических величин в СИ:

$$[a] = \frac{[v - v_0]}{[t]} = \frac{1\text{ м/с}}{1\text{ с}} = \frac{1\text{ м}}{1\text{ с} \cdot 1\text{ с}} = 1\text{ м/с}^2$$

Таким образом, строго доказано, что производной единицей ускорения в СИ является метр на секунду в квадрате ($\text{м/с}^2$).

Доказательство:

• По условию собака преодолевает путь ровно $4\text{ м}$ за каждую секунду. Это означает, что её скорость на секундных интервалах равна:

$$v = \frac{s}{t} = \frac{4\text{ м}}{1\text{ с}} = 4\text{ м/с}$$

• Скорость собаки не увеличивается и не уменьшается от секунды к секунде — она остаётся неизменной по величине ($v = 4\text{ м/с} = \text{const}$).
• Вычислим ускорение такого движения:

$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{4\text{ м/с} - 4\text{ м/с}}{1\text{ с}} = 0\text{ м/с}^2$$

• Поскольку ускорение равно нулю ($a = 0$), скорость с течением времени не меняется, что противоречит определению равноускоренного движения (где скорость обязана непрерывно и монотонно изменяться во времени на фиксированную ненулевую величину).

Следовательно, данное движение является равномерным, а не равноускоренным.

Однозначно утверждать это в общем случае нельзя.

Физическое обоснование:

• Формула скорости равноускоренного движения имеет вид:

$$v = v_0 + at$$

• Две величины называют прямо пропорциональными только тогда, когда функция имеет вид $y = kx$ (то есть график выходит из начала координат, и при увеличении аргумента в $n$ раз функция строго возрастает в те же $n$ раз).
• При наличии ненулевой начальной скорости ($v_0 \ne 0$) формула содержит свободный член $v_0$. Например, если $v_0 = 10\text{ м/с}$ и $t = 2\text{ с}$, то:
• при $a = 1\text{ м/с}^2 \implies v = 10 + 1 \cdot 2 = 12\text{ м/с}$;
• при $a = 2\text{ м/с}^2$ (ускорение возросло в 2 раза) $\implies v = 10 + 2 \cdot 2 = 14\text{ м/с}$ (скорость возросла лишь в $1{,}17$ раза, а не в $2$ раза).
• Прямая пропорциональность между скоростью и временем или скоростью и ускорением ($v \sim a$ при фиксированном времени $t$) строго соблюдается только при одном специальном условии — когда начальная скорость равна строго нулю ($v_0 = 0$, движение тела из состояния покоя): $v = at$. Во всех остальных случаях ($v_0 \ne 0$) зависимость является не прямо пропорциональной, а линейной.