§ 42. Измерение атмосферного давления. Опыт Торричелли

исторический фундаментальный физический эксперимент итальянского физика и математика Эванджелиста Торричелли, доказавший существование атмосферного давления и позволивший впервые в истории науки экспериментально измерить его точную величину.

• 1. Постановка и методика опыта — запаянную с одного конца стеклянную трубку длиной около $1\text{ м}$ доверху заполнили ртутью, зажали открытый конец пальцем, перевернули и погрузили в чашу со ртутью (рис. 133). После освобождения отверстия часть ртути вылилась в чашу, а в трубке установился столб ртути высотой строго около $760\text{ мм}$ над уровнем жидкости в чаше.
• 2. Гидростатическое равновесие — на горизонтальном уровне свободной поверхности ртути в чаше ($aa_1$) внешнее атмосферное давление уравновешивается гидростатическим давлением столба ртути в трубке: $p_{\text{атм}} = \rho_{\text{рт}} g h$.

свободное безвоздушное пространство (глубокий физический вакуум), образующееся в верхней запаянной части трубки над мениском ртутного столба после того, как ртуть частично выливается в открытую чашу.

• 1. Отсутствие давления воздуха — поскольку воздух из трубки был предварительно полностью вытеснен ртутью, в пространстве над ртутным столбом воздух полностью отсутствует, а давление насыщенных паров ртути при комнатной температуре исчезающе мало ($\sim 0{,}13\text{ Па}$), что позволяет считать встречное давление газа над столбом практически равным нулю ($p_{\text{верх}} \approx 0$).
• 2. Историческое значение — эксперимент Торричелли опроверг господствовавшую с античности догму Аристотеля о «боязни пустоты» (horror vacui) в природе.

тяжесть и metreo — измеряю) — жидкостный эталонный прибор для прямого высокоточного измерения атмосферного давления, созданный на основе трубки Торричелли с нанесенной линейной миллиметровой шкалой.

• 1. Барометрическая динамика — при повышении атмосферного давления воздух сильнее давит на свободную поверхность ртути в открытой чаше, загоняя дополнительную ртуть в трубку (высота столба растет); при приближении циклона и падении давления ртуть частично сливается в чашу (высота столба падает).
• 2. Связь с прогнозом погоды — систематические колебания барометрического столба являются важнейшим предвестником смены погодных фронтов, циклонов и зарождения штормовых ветров.

внесистемная единица измерения давления, определяемая как гидростатическое давление покоящегося столба ртути высотой строго $1\text{ мм}$ при $0^\circ\text{C}$ и стандартном ускорении свободного падения:

• 1. Аналитический перевод в единицы СИ (Паскали):

$$p = \rho_{\text{рт}} g h = 13\,600\text{ кг/м}^3 \cdot 9{,}80665\text{ м/с}^2 \cdot 0{,}001\text{ м} \approx 133{,}322\text{ Па} \approx 133{,}3\text{ Па}.$$

• 2. Нормальное атмосферное давление: международный эталон давления воздуха на уровне Мирового океана при температуре $0^\circ\text{C}$, соответствующий высоте ртутного столба $760\text{ мм рт. ст.}$:

$$p_0 = 760\text{ мм рт. ст.} = 760 \cdot 133{,}3\text{ Па} = 101\,308\text{ Па} \approx 101\,300\text{ Па} = 1013\text{ гПа} = 101{,}3\text{ кПа}.$$

совокупное интегральное силовое воздействие $F = p S$, развиваемое земной атмосферой на плоские и криволинейные тела:

• 1. Сила на $1\text{ м}^2$ земной поверхности — при нормальном атмосферном давлении на каждый квадратный метр плоскости воздух давит с гигантской силой $F = 101\,300\text{ Па} \cdot 1\text{ м}^2 = 101\,300\text{ Н}$, что эквивалентно тяжести груза массой свыше 10 тонн.
• 2. Сила на ладонь человека и механизм физиологической компенсации — на ладонь площадью $S \approx 100\text{ см}^2 = 0{,}01\text{ м}^2$ действует сила $F = 101\,300 \cdot 0{,}01 \approx 1000\text{ Н}$ (вес мотоцикла или взрослого человека). Организм человека не раздавливается и не ощущает этой нагрузки, поскольку давление внутри кровеносных сосудов, клеток и полостей тела в точности равно внешнему атмосферному давлению, а наружное давление действует равномерно со всех сторон (включая тыльную сторону кисти) и взаимно уравновешивается.

демонстрационный эксперимент бургомистра Магдебурга Отто фон Герике, наглядно показавший гигантскую механическую мощь атмосферного давления. Две тщательно пришлифованные медные полусферы с резиновым уплотнением сложили вместе и откачали из внутренней полости воздух воздушным насосом. Сила сжатия внешним атмосферным воздухом оказалась столь велика, что две упряжки по восемь отборных лошадей (всего 16 коней), тянувших полушария в противоположные стороны, едва смогли оторвать их друг от друга.

Итальянский физик и математик, ученик Галилео Галилея, впервые экспериментально доказавший существование атмосферного давления и создавший первый в истории ртутный барометр.

• В 1643 году провёл знаменитый опыт со стеклянной метровой трубкой, запаянной с одного конца и наполненной ртутью, установив, что столб ртути высотой около 760 мм удерживается давлением окружающего воздуха.
• Обнаружил, что над поверхностью опустившейся в трубке ртути образуется безвоздушное пространство («торричеллиева пустота»), опровергнув многовековое античное заблуждение о «боязни пустоты» в природе.
• Начал регулярные систематические наблюдения за высотой ртутного столба и установил, что атмосферное давление непрерывно колеблется в зависимости от погодных условий, заложив основы метеорологии.

Французский физик, математик, механик и философ, один из основоположников гидростатики, доказавший зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря.

• Узнав об опытах Торричелли, теоретически обосновал, что атмосферное давление порождается весом воздушного столба и поэтому должно закономерно убывать с увеличением высоты над поверхностью Земли.
• Организовал в 1648 году опыт со ртутным барометром на горе Пюи-де-Дом, в ходе которого его родственник Флорен Перье подтвердил, что высота ртутного столба на вершине значительно меньше, чем у подножия.
• Экспериментально подтвердил выводы Торричелли о существовании атмосферного давления, а его имя было увековечено в названии единицы давления в Международной системе единиц (Паскаль, Па).

Немецкий физик, инженер и философ, бургомистр города Магдебурга, изобретатель воздушного насоса, экспериментально доказавший огромную силу атмосферного давления.

• В 1654 году провёл знаменитый эксперимент с магдебургскими полушариями — двумя плотно пригнанными медными полусферами, из полости между которыми был полностью выкачан воздух.
• Показал, что внешнее давление воздуха сжало полушария с такой колоссальной силой, что две упряжки по восемь лошадей в каждой с трудом смогли оторвать их друг от друга.
• Наглядно продемонстрировал современникам гигантскую величину атмосферного давления и реальность существования безвоздушного пространства, разрушив догму о невозможности вакуума.

Нет, давление атмосферного воздуха нельзя непосредственно рассчитывать по формуле гидростатического давления жидкости $p = \rho g h$.

Строгое физическое обоснование:

• Переменная плотность воздуха: формула $p = \rho g h$ выведена строго для несжимаемых жидкостей, плотность которых $\rho$ постоянна по всей глубине столба. В отличие от жидкостей, газы легко сжимаемы. Вследствие действия силы тяжести нижние слои атмосферы сжаты колоссальным весом вышележащих слоев и имеют максимальную плотность ($\approx 1{,}29\text{ кг/м}^3$ у земли), а по мере подъема на каждые сотни метров воздух резко разрежается и его плотность непрерывно и нелинейно убывает.
• Отсутствие четкой верхней границы: в формуле $h$ — это глубина, отсчитываемая от фиксированной свободной поверхности. У земной атмосферы нет четкой геометрической верхней границы: газовая оболочка Земли постепенно и плавно переходит в глубокий межпланетный вакуум.
• Изменение ускорения свободного падения: на больших высотах (десятки и сотни километров) начинает сказываться и гравитационное убывание величины $g$.

Измерение атмосферного давления осуществляется с помощью классического опыта Торричелли (1643 г.):

• Оборудование: прочная стеклянная трубка длиной около $1\text{ м}$, запаянная с одного конца и открытая с другого, чаша с жидкой ртутью.
• Порядок проведения эксперимента:
• Стеклянную трубку до самых краев наполняют ртутью.
• Плотно зажимают открытый конец пальцем, чтобы предотвратить попадание воздуха, и аккуратно переворачивают трубку запаянным концом вверх.
• Опускают открытый конец трубки под слой ртути в чаше и отнимают палец.
• Наблюдаемое явление: часть ртути под действием силы тяжести выливается из трубки в чашу, а над опустившимся мениском образуется безвоздушное пространство — «торричеллиева пустота». При этом в трубке остается столб ртути постоянной высоты — около $760\text{ мм}$ над свободной поверхностью ртути в чаше.
• Расчет давления: на горизонтальном уровне свободной поверхности ртути в чаше атмосферное давление $p_{\text{атм}}$ в точности уравновешивается гидростатическим давлением столба ртути высотой $h$:

$$p_{\text{атм}} = \rho_{\text{рт}} g h = 13\,600\text{ кг/м}^3 \cdot 9{,}8\text{ м/с}^2 \cdot 0{,}76\text{ м} \approx 101\,300\text{ Па}.$$

Запись «атмосферное давление равно $770\text{ мм рт. ст.}$» означает следующее:

• Физический смысл показания барометра: воздух оказывает на земную поверхность и все находящиеся на ней тела точно такое же механическое давление, какое создает вертикальный столб покоящейся жидкой ртути высотой ровно $770\text{ мм}$ ($0{,}77\text{ м}$) при температуре $0^\circ\text{C}$.
• Перевод в систему СИ (Паскали):

$$p = \rho_{\text{рт}} g h = 13\,600\text{ кг/м}^3 \cdot 9{,}8\text{ м/с}^2 \cdot 0{,}77\text{ м} \approx 102\,626\text{ Па} \approx 1026\text{ гПа} \approx 102{,}6\text{ кПа}.$$

• Метеорологическая интерпретация: данное давление превышает нормальное атмосферное ($760\text{ мм рт. ст.}$), что указывает на зону повышенного давления (антициклон), сопровождающуюся обычно ясной, сухой и устойчивой погодой.

В физике, метеорологии и технике применяются следующие единицы измерения атмосферного давления:

• Паскаль ($\text{Па}$): основная единица давления в Международной системе единиц (СИ), определяемая как давление силы в один ньютон на площадь в один квадратный метр ($1\text{ Па} = 1\text{ Н/м}^2$).
• Гектопаскаль ($\text{гПа}$): производная единица СИ, общепринятая во всемирной метеорологии ($1\text{ гПа} = 100\text{ Па}$).
• Килопаскаль ($\text{кПа}$): кратная единица СИ ($1\text{ кПа} = 1000\text{ Па}$).
• Миллиметр ртутного столба ($\text{мм рт. ст.}$): внесистемная единица, исторически связанная с ртутным барометром Торричелли ($1\text{ мм рт. ст.} \approx 133{,}3\text{ Па}$).
• Физическая (нормальная) атмосфера ($\text{атм}$): внесистемная единица, равная стандартному нормальному атмосферному давлению на уровне моря ($1\text{ атм} = 760\text{ мм рт. ст.} = 101\,325\text{ Па} \approx 1013\text{ гПа}$).
• Бар ($\text{бар}$): внесистемная единица, применяемая в инженерных расчетах и метеорологии ($1\text{ бар} = 10^5\text{ Па} = 100\text{ кПа} \approx 750\text{ мм рт. ст.}$, $1\text{ мбар} = 1\text{ гПа}$).

Ветер — это горизонтальное перемещение масс атмосферного воздуха из областей высокого давления в области низкого давления:

• Причина возникновения: поверхность Земли прогревается солнечными лучами неравномерно (суша нагревается быстрее моря, экваториальные широты теплее полярных). Нагретый теплый воздух расширяется, его плотность падает, и он устремляется вверх, формируя приземную область пониженного давления. В то же время над более холодными поверхностями формируются очаги плотного холодного воздуха и область высокого давления.
• От чего зависит направление ветра: ветер всегда направлен вдоль барического градиента — из области высокого атмосферного давления в сторону области более низкого давления (а в масштабах планеты его траектория отклоняется вправо в Северном полушарии и влево в Южном под действием силы Кориолиса).
• От чего зависит сила (скорость) ветра: сила ветра прямо пропорциональна разности (градиенту) атмосферного давления между двумя географическими точками и расстоянию между ними: чем резче перепад давления на единицу расстояния, тем больше разгоняющая сила, действующая на массы воздуха, и тем сильнее и разрушительнее порывы ветра (вплоть до ураганов и штормов).

Дано:

$p_0 \approx 101\,300\text{ Па}$ (нормальное атмосферное давление на поверхности Земли)

$R_{\text{З}} \approx 6400\text{ км} = 6{,}4 \cdot 10^6\text{ м}$ (средний радиус земного шара)

$g \approx 9{,}8\text{ Н/кг}$ (ускорение свободного падения)

$\pi \approx 3{,}14$

Найти:

$M_{\text{атм}}$ — ?

Решение:

• Согласно результатам опыта Торричелли, среднее атмосферное давление у поверхности Земли составляет $p_0 = 101\,300\text{ Па}$. Это означает, что на каждый квадратный метр поверхности планеты опирается вертикальный столб воздуха, сила тяжести (вес) которого равна:

$$F_1 = p_0 \cdot 1\text{ м}^2 = 101\,300\text{ Н}.$$

• Полный вес всей атмосферной оболочки планеты ($P_{\text{атм}}$) равен произведению поверхностного атмосферного давления на полную площадь поверхности земного шара ($S_{\text{З}}$):

$$P_{\text{атм}} = p_0 \cdot S_{\text{З}}.$$

Поскольку Земля имеет форму шара радиусом $R_{\text{З}}$, площадь ее поверхности вычисляется по геометрической формуле сферы:

$$S_{\text{З}} = 4 \pi R_{\text{З}}^2.$$

Вычислим площадь земной поверхности:

$$S_{\text{З}} = 4 \cdot 3{,}14 \cdot (6{,}4 \cdot 10^6\text{ м})^2 \approx 12{,}56 \cdot 40{,}96 \cdot 10^{12}\text{ м}^2 \approx 5{,}15 \cdot 10^{14}\text{ м}^2.$$

• Совокупный гравитационный вес всей воздушной оболочки Земли составляет:

$$P_{\text{атм}} = p_0 \cdot S_{\text{З}} \approx 101\,300\text{ Па} \cdot 5{,}15 \cdot 10^{14}\text{ м}^2 \approx 5{,}22 \cdot 10^{19}\text{ Н}.$$

• Так как вес покоящейся атмосферы порожден притяжением ее массы к Земле силой тяжести ($P_{\text{атм}} = M_{\text{атм}} g$), искомая масса атмосферы равна:

$$M_{\text{атм}} = \frac{P_{\text{атм}}}{g} = \frac{p_0 \cdot 4 \pi R_{\text{З}}^2}{g}.$$

Подставим численные значения:

$$M_{\text{атм}} \approx \frac{5{,}22 \cdot 10^{19}\text{ Н}}{9{,}8\text{ Н/кг}} \approx 5{,}33 \cdot 10^{18}\text{ кг} \approx 5{,}3 \cdot 10^{18}\text{ кг}.$$

В тоннах эта грандиозная масса выражается как:

$$M_{\text{атм}} \approx 5{,}3 \cdot 10^{15}\text{ т}\quad (\text{около } 5{,}3\text{ квадриллиона тонн}).$$

Ответ: $M_{\text{атм}} \approx 5{,}3 \cdot 10^{18}\text{ кг}$ ($\approx 5{,}3 \cdot 10^{15}\text{ тонн}$).

Результат исторического опыта Отто фон Герике объясняется колоссальной силой одностороннего сжатия полушарий внешним атмосферным давлением при отсутствии противодавления изнутри:

• Состояние до откачки воздуха: пока внутри сомкнутых полушарий находился воздух, его давление изнутри было точно равно внешнему атмосферному давлению ($p_{\text{внутр}} = p_{\text{внешн}} = p_0$). Силы давления на стенки изнутри и снаружи взаимно компенсировались, и полушария можно было легко разъединить руками без каких-либо усилий.
• Возникновение сжимающей силы после откачки: после того как воздух из сомкнутой сферы был удален вакуумным насосом, внутреннее давление упало практически до нуля ($p_{\text{внутр}} \approx 0$). В результате на внешнюю поверхность полусфер стало действовать ничем не скомпенсированное внешнее атмосферное давление $p_0 \approx 101\,300\text{ Па}$.
• Математический расчет силы прижатия: результирующая сила, прижимающая полушария друг к другу вдоль линии их разъема, равна произведению атмосферного давления на площадь поперечного кругового сечения полусфер:

$$F = p_0 \cdot S_{\text{сеч}} = p_0 \cdot \frac{\pi d^2}{4}.$$

При диаметре полушарий Герике $d \approx 35{,}5\text{ см} = 0{,}355\text{ м}$:

$$S_{\text{сеч}} = \frac{3{,}14 \cdot (0{,}355\text{ м})^2}{4} \approx 0{,}099\text{ м}^2 \approx 0{,}1\text{ м}^2.$$

$$F \approx 101\,300\text{ Па} \cdot 0{,}1\text{ м}^2 \approx 10\,130\text{ Н} \approx 10\text{ кН}.$$

• Вывод: сила сцепления полушарий превышала $10\,000\text{ Н}$, что эквивалентно подъему груза массой более 1 тонны. Именно поэтому сил даже двух упряжек по 8 лошадей (развивающих тяговое усилие в противоположные стороны) едва хватило, чтобы разорвать удерживаемые атмосферным океаном сферы.