§ 53. Рычаг. Равновесие сил на рычаге

любое твердое тело, которое может совершать вращательное движение вокруг неподвижной оси или точки опоры:

• 1. Физическая сущность — недеформируемый стержень, балка или брус, преобразующий приложенные внешние усилия во вращающий момент вокруг закрепленной оси или призматической опоры.
• 2. Распространенность в быту и технике — лом, монтировка, гвоздодер, ножницы, клещи, весло лодки, педали велосипеда, клавиша пианино, стрела подъемного крана.

рычаг, у которого точки приложения действующих сил находятся по разные стороны от неподвижной оси вращения (точки опоры):

• 1. Характер действия сил — при равновесии обе действующие силы направлены в одну сторону (например, обе вертикально вниз), но стремятся повернуть рычаг в противоположные стороны: одна сила вращает по ходу часовой стрелки, а вторая — против хода часовой стрелки.
• 2. Примеры механизмов — детские качели-балансир, аптекарские чашечные весы, ножницы, гвоздодер, лом при опоре на подставку между руками человека и поднимаемым камнем.

рычаг, у которого точки приложения действующих сил находятся по одну сторону от неподвижной оси вращения (точки опоры):

• 1. Характер действия сил — при равновесии действующие силы направлены в противоположные стороны (одна сила направлена вверх, другая — вниз).
• 2. Примеры механизмов — строительная тачка (ось колеса является точкой опоры, груз расположен посередине кузова, руки рабочего поднимают рукоятки вверх), щипцы для колки орехов, подъем плиты ломом при упоре его нижнего конца в грунт, предплечье человека.

• 1. Линия действия силы — бесконечная прямая линия, в направлении которой действует приложенный к телу вектор силы $\vec{F}$.
• 2. Плечо силы ($l$) — длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения (или точки опоры) рычага к линии действия данной силы.
• 3. Алгоритм нахождения плеча силы:
• через вектор силы провести прямую (линию действия силы);
• из точки опоры (оси вращения рычага) опустить геометрический перпендикуляр на эту прямую под углом $90^\circ$;
• измерить длину получившегося перпендикулярного отрезка.
• 4. Единица измерения — в Международной системе единиц (СИ) плечо силы измеряется в метрах ($\text{м}$).

• 1. Формулировка закона — рычаг находится в равновесии тогда, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1},$$

где $F_1$ и $F_2$ — модули действующих на рычаг сил, $l_1$ и $l_2$ — плечи соответствующих сил.

• 2. Физический смысл выигрыша в силе — используя рычаг, можно меньшей силой уравновесить значительно большую силу. Выигрыш в силе равен отношению плеч:

$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{l_1}{l_2}.$$

Во сколько раз плечо приложенной силы длиннее плеча силы тяжести груза, во столько раз меньшую силу требуется приложить.

• 3. Равноплечий рычаг — если плечи сил равны ($l_1 = l_2$), то для равновесия силы должны быть строго равны ($F_1 = F_2$), следовательно, равноплечий рычаг не дает выигрыша в силе.

Древнегреческий учёный, великий математик, физик и механик античности, основоположник теоретической статики. Впервые дал строгое математическое обоснование правила равновесия рычага и создал теорию простых механизмов, позволяющих получить выигрыш в силе.

• Сформулировал и математически доказал фундаментальное правило равновесия рычага: рычаг находится в равновесии, когда действующие на него силы обратно пропорциональны плечам этих сил (F₁ / F₂ = l₂ / l₁).
• Экспериментально доказал, что с помощью рычага можно уравновесить и поднять сколь угодно тяжёлый груз малой силой за счёт выигрыша в расстоянии, увеличивая плечо приложения действующей силы.
• Осознавая практическое могущество рычажных механизмов, произнёс знаменитые крылатые слова: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!», а также сконструировал винтовой водоподъёмный механизм (архимедов винт).

Рычагом называют любое твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси или точки опоры.

Примеры рычагов:

• В быту и ручных инструментах: лом, гвоздодёр, монтировка, ножницы, клещи, кусачки, плоскогубцы, щипцы для колки орехов, гаечный ключ, дверная ручка, клавиша настенного выключателя, штопор, открывалка для бутылок.
• В технике и механизмах: весло лодки, педали и руль велосипеда, рычаг переключения передач в автомобиле, колодезный ворот, стрела подъемного крана, ковш гидравлического экскаватора, детские качели-балансир.
• В анатомии живых организмов: кости скелета человека и животных (кости предплечья при сгибании руки, нижняя челюсть, фаланги пальцев, кости стопы).

Плечом силы называют длину перпендикуляра, проведённого от оси вращения (или точки опоры) рычага до линии действия силы.

• Линией действия силы называется прямая, вдоль которой ориентирован вектор силы.
• Плечо силы обозначается латинской буквой $l$ (или $d$) и в Международной системе единиц (СИ) измеряется в метрах ($\text{м}$).

Алгоритм нахождения плеча силы:

• Шаг 1: Провести линию действия силы — мысленно или графически продолжить прямую линию вдоль направления вектора действующей силы в обе стороны.
• Шаг 2: Найти на чертеже или реальном механизме точку опоры (ось вращения рычага $O$).
• Шаг 3: Из точки опоры опустить перпендикуляр на построенную линию действия силы (под прямым углом $90^\circ$).
• Шаг 4: Измерить длину полученного отрезка перпендикуляра — эта длина и представляет собой плечо данной силы ($l$).

Важное физическое примечание: плечо силы совпадает с длиной плеча самого рычага только тогда, когда вектор силы направлен строго перпендикулярно продольной оси рычага. Если сила приложена под углом, длина перпендикуляра всегда меньше геометрической длины стержня.

Правило равновесия рычага (установленное Архимедом):

Рычаг находится в равновесии тогда, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил.

Математически это правило записывается в виде пропорции:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1},$$

где:

• $F_1$ и $F_2$ — действующие на рычаг силы;
• $l_1$ и $l_2$ — плечи соответствующих сил.

Данное правило справедливо как для рычагов первого рода, так и для рычагов второго рода. Согласно этому правилу, используя рычаг, можно меньшей силой уравновесить бо́льшую силу: во сколько раз плечо приложенной силы длиннее плеча нагрузки, во столько же раз меньшая сила требуется для удержания или подъема тела.

Физическое объяснение с точки зрения правила рычага:

• Когда палку держат за концы в руках:
• Человек пытается согнуть или сломать палку, прикладывая мышечные усилия кистей рук навстречу друг другу. В этом случае расстояние между точками приложения противоположно направленных сил очень мало (оно ограничено шириной ладоней), плечо изгибающего момента невелико, и чтобы создать разрушающее напряжение в древесине, требуется огромное мышечное усилие.
• Когда середину палки кладут на жесткую подставку (или колено):
• Точка контакта с подставкой превращается в неподвижную точку опоры рычага (рычаг первого рода).
• Руки человека прикладывают силы к самым дальним краям палки, создавая максимально длинные плечи сил ($l$).
• Согласно правилу равновесия рычага, сила излома в точке опоры $F_{\text{изл}}$ во столько раз превосходит силу рук $F_{\text{рук}}$, во сколько длина половины палки (плечо силы рук) превосходит радиус сечения палки (плечо сил внутреннего сопротивления волокон древесины):

$$F_{\text{изл}} = F_{\text{рук}} \cdot \frac{l}{\Delta r}.$$

Благодаря многократному выигрышу в силе за счет длинного плеча, даже умеренное нажатие руками вызывает в древесине колоссальные напряжения, превосходящие предел прочности материала, и палка легко ломается.

Строгое математическое доказательство:

• Исходное условие равноплечего рычага:

По определению, у равноплечего рычага плечи действующих сил равны между собой:

$$l_1 = l_2.$$

• Использование формулы равновесия рычага:

Запишем пропорцию Архимеда для равновесия рычага:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1}.$$

• Подстановка равенства плеч:

Поскольку $l_1 = l_2$, их отношение строго равно единице:

$$\frac{l_2}{l_1} = 1 \implies \frac{F_1}{F_2} = 1 \implies F_1 = F_2.$$

• Определение выигрыша в силе:

Коэффициент выигрыша в силе $k$ равен отношению преодолеваемой нагрузки $F_2$ к прикладываемой силе $F_1$:

$$k = \frac{F_2}{F_1} = \frac{l_1}{l_2} = 1.$$

• Вывод:

Равноплечий рычаг требует приложения точно такой же силы, какой обладает удерживаемый груз ($F_1 = F_2$), следовательно, выигрыша в силе он не дает ($k = 1$).

Практическое применение: именно по этой причине равноплечие рычаги применяются в лабораторных и аптекарских аналитических весах, где равенство плеч гарантирует абсолютное равенство массы взвешиваемого образца и массы эталонных разновесов.