§ 5. Точность и погрешность измерений

неизбежное отклонение результата экспериментального измерения от истинного (действительного) значения измеряемой физической величины.

• 1. Принцип недостижимости абсолютной точности — в физике никакое измерение принципиально невозможно выполнить абсолютно точно из-за ограниченных возможностей приборов и воздействия внешних факторов.
• 2. Причины возникновения погрешностей — несовершенство конструкции измерительных приборов, неточность фабричной градуировки шкал, ограниченность разрешающей способности органов чувств человека (глаза), а также случайные внешние воздействия (вибрации, сквозняки, температурные расширения).

модуль отклонения найденного при измерении численного значения от истинного значения физической величины: $\Delta a$.

• 1. Каноническая форма записи — результат любого измерения с учётом погрешности записывается в виде:

$$A = a \pm \Delta a$$

где $A$ — измеряемая физическая величина, $a$ — измеренное значение величины (числовой результат отсчёта по шкале прибора), $\Delta a$ — абсолютная погрешность измерения (читается «дельта а», $\Delta$ — заглавная греческая буква «дельта»).

• 2. Интервал истинного значения — истинное значение измеряемой величины гарантированно находится внутри интервала от $a - \Delta a$ до $a + \Delta a$ (то есть $a - \Delta a \le A \le a + \Delta a$).
• 3. Правило однократного измерения — если в условиях опыта или в паспорте прибора не оговорено иное, абсолютную погрешность при прямом однократном измерении принимают равной цене деления шкалы измерительного прибора (в ряде прецизионных работ — половине цены деления шкалы).

погрешность, возникающая при снятии показаний со шкалы прибора вследствие округления показания до ближайшего штриха или неточного совмещения указателя со штрихом.

• 1. Ограничение погрешности отсчёта — как правило, погрешность отсчёта не превышает половины цены деления шкалы используемого прибора.
• 2. Эффект параллакса — кажущееся смещение стрелки или указателя относительно штрихов шкалы при наблюдении под углом. Для исключения параллакса отсчёт показаний всегда следует проводить строго перпендикулярно плоскости шкалы прибора.

погрешность, обусловленная конструктивными недостатками самого измерительного прибора и неточностью нанесения его шкалы при фабричном производстве.

• 1. Паспортные данные — точное значение инструментальной погрешности приводится в техническом паспорте прибора. Если паспортные данные отсутствуют, инструментальную погрешность принимают равной половине цены деления шкалы.
• 2. Суммарная погрешность прямого измерения — при детальном анализе абсолютная погрешность прямого измерения складывается из погрешности отсчёта и инструментальной погрешности:

$$\Delta a = \Delta a_{\text{отсч}} + \Delta a_{\text{инстр}}$$

Например, при измерении ученической линейкой с ценой деления $1\text{ мм}$: $\Delta l = 0{,}5\text{ мм} + 0{,}5\text{ мм} = 1\text{ мм}$.

качественная характеристика измерительной процедуры, отражающая степень близости полученного результата измерения к истинному значению величины.

• 1. Связь с ценой деления — чем меньше цена деления шкалы измерительного прибора, тем выше достижимая точность измерения и тем уже интервал неопределённости.

расчётная величина, используемая для повышения достоверности измерений и компенсации случайных погрешностей при многократных повторных опытах в неизменных условиях.

• 1. Формула расчёта — сумма значений всех $n$ проведённых измерений, делённая на их количество:

$$a_{\text{ср}} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$$

• 2. Физический механизм компенсации — случайные неконтролируемые отклонения в большую и меньшую стороны при многократном усреднении взаимно погашаются, благодаря чему среднее арифметическое оказывается существенно ближе к истинному значению величины, чем результат любого единичного замера.

Погрешность при измерении возникает под действием комплекса объективных и субъективных факторов:

• Несовершенство самого измерительного прибора — неизбежные микронеточности изготовления деталей, неравномерность нанесения штрихов шкалы и зазоры в механизмах (инструментальная погрешность);
• Ограниченность разрешающей способности человеческих органов чувств — невозможность визуально абсолютно точно зафиксировать совпадение края тела или стрелки со штрихом шкалы, а также округление до ближайшего деления (погрешность отсчёта);
• Неправильное положение глаза наблюдателя при снятии показаний (эффект параллакса при взгляде под углом);
• Воздействие неконтролируемых внешних условий окружающей среды во время проведения опыта — колебания температуры и влажности воздуха, вибрации пола и стола, конвекционные потоки воздуха и атмосферное давление.

Абсолютной погрешностью измерения называют модуль отклонения результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Она обозначается греческой буквой дельта со значком измеряемой величины (например, $\Delta l$, $\Delta m$, $\Delta t$) и выражается в тех же единицах измерения, что и сама физическая величина. Абсолютная погрешность задаёт ширину доверительного интервала, внутри которого расположено истинное значение.

При проведении прямых измерений абсолютная погрешность складывается из двух основных составляющих:

• Погрешности отсчёта ($\Delta a_{\text{отсч}}$), которая связана с округлением показания до ближайшего штриха шкалы и обычно принимается равной половине цены деления шкалы прибора;
• Инструментальной погрешности ($\Delta a_{\text{инстр}}$), которая заложена конструкцией и качеством изготовления прибора и при отсутствии паспортных данных также принимается равной половине цены деления шкалы прибора.

Сумма этих двух величин при прямом измерении даёт полную абсолютную погрешность:

$$\Delta a = \Delta a_{\text{отсч}} + \Delta a_{\text{инстр}} = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = C$$

то есть в общем случае абсолютная погрешность однократного прямого измерения принимается равной цене деления ($C$) шкалы измерительного прибора.

Для записи физической величины с учётом её абсолютной погрешности используют стандартную формулу:

$$A = a \pm \Delta a$$

где $A$ — символическое обозначение измеряемой физической величины, $a$ — полученный числовой результат измерения, $\Delta a$ — значение абсолютной погрешности измерения.

При этом числовые значения величины и погрешности обязательно заключают в скобки, а за скобками указывают единицу измерения:

$$(a \pm \Delta a)\text{ [ед. изм.]}$$

Например, если длина бруска измерена линейкой с ценой деления $1\text{ мм}$ и результат составил $52\text{ мм}$, то запись имеет вид:

$$l = (52 \pm 1)\text{ мм} = (5{,}2 \pm 0{,}1)\text{ см}$$

Это означает, что истинная длина бруска достоверно лежит в диапазоне от $51\text{ мм}$ до $53\text{ мм}$ (от $5{,}1\text{ см}$ до $5{,}3\text{ см}$).

Выбор прибора определяется соотношением размеров измеряемого объекта, пределов измерения прибора и его цены деления:

• Для измерения длины учебника следует воспользоваться линейкой длиной $25\text{ см}$ с ценой деления $1\text{ мм}$. Линейка полностью перекрывает длину стандартного школьного учебника (около $21$–$22\text{ см}$), а её цена деления ($1\text{ мм}$) обеспечивает высокую точность (погрешность измерения составит всего $\pm 1\text{ мм}$, в то время как у ленты погрешность была бы $\pm 1\text{ см} = \pm 10\text{ мм}$).
• Для измерения длины комнаты следует воспользоваться измерительной лентой длиной $10\text{ м}$ с ценой деления $1\text{ см}$. Длина комнаты (обычно от $3$ до $6\text{ метров}$) значительно превышает длину линейки ($25\text{ см}$). Если измерять комнату короткой линейкой, её придётся последовательно перекладывать $15$–$20$ раз. При каждом перекладывании неизбежно накапливается погрешность совмещения меток, в результате чего суммарная погрешность окажется гораздо больше, чем однократное измерение лентой с погрешностью $\pm 1\text{ см}$.

Смысл многократного повторения измерений с последующим вычислением среднего арифметического заключается в устранении влияния случайных неконтролируемых факторов (случайных погрешностей).

При каждом единичном измерении случайные помехи (дрожание руки, вибрации, случайный угол взгляда) отклоняют стрелку или отсчёт то в большую сторону (со знаком «плюс»), то в меньшую сторону (со знаком «минус»).

По теории вероятностей и законам математической статистики при суммировании результатов большого числа опытов случайные положительные и отрицательные отклонения взаимно компенсируют (гасят) друг друга:

$$a_{\text{ср}} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$$

Среднее арифметическое значение принципиально не может отличаться от истинного значения сильнее, чем крайние ошибочные результаты отдельных измерений. Напротив, среднее значение математически всегда ближе к истинному значению, чем единичный случайный замер, поэтому точность и надёжность результата многократных измерений существенно возрастают.