§ 40. Сообщающиеся сосуды

сосуды любой формы и размера, соединенные между собой в нижней части так, что налитая жидкость может свободно перетекать из одного колена в другое (бытовые и технические примеры: чайник, кофейник, садовая лейка, водомерное стекло парового котла, водопроводная сеть, речные и морские шлюзы).

• 1. Конструктивные особенности — сообщающиеся сосуды могут состоять из двух или более трубок одинакового или существенно различного поперечного сечения, изогнутых под любыми углами или соединенных гибкими шлангами.
• 2. Поведение свободной поверхности — при любых наклонах, подъемах или смещениях одного колена относительно другого свободная поверхность покоящейся жидкости в них всегда стремится к общему положению механического равновесия.

фундаментальный гидростатический закон, устанавливающий, что в открытых сообщающихся сосудах любой геометрической формы и любого поперечного сечения свободные поверхности покоящейся однородной жидкости устанавливаются на одном и том же горизонтальном уровне ($h_1 = h_2$).

• 1. Математический и физический вывод — если жидкость находится в покое и не перетекает из одного сосуда в другой, гидростатические давления ее столбов слева и справа на горизонтальном уровне соединения равны: $p_1 = p_2$. Выражая давление через формулу столба жидкости $p = \rho g h$, получаем $\rho g h_1 = \rho g h_2$. Так как жидкость однородна ($\rho_1 = \rho_2 = \rho$) и ускорение свободного падения одинаково ($g$), после сокращения на $\rho g$ строго следует равенство высот столбов: $h_1 = h_2$.
• 2. Независимость от геометрии сосуда — закон выполняется абсолютно независимо от того, насколько широкими, узкими, наклонными или витыми являются сообщающиеся трубки (рис. 121), поскольку гидростатическое давление определяется исключительно плотностью и вертикальной высотой столба жидкости, а не его объемом или формой.

гидростатическая закономерность, согласно которой при заполнении колен сообщающихся сосудов несмешивающимися жидкостями с различной плотностью ($\rho_1 \ne \rho_2$) их свободные поверхности устанавливаются на разных уровнях, причем высоты столбов жидкостей над уровнем раздела обратно пропорциональны их плотностям: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$.

• 1. Условие равновесия на границе раздела фаз — на горизонтальном уровне раздела разнородных жидкостей $AB$ (рис. 123) гидростатические давления столбов равны: $p_1 = p_2$, откуда $\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2 \implies \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2 \implies \frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$.
• 2. Практическое следствие — жидкость с меньшей плотностью (например, керосин $\rho = 800\text{ кг/м}^3$ или растительное масло) образует более высокий столб над границей раздела, чем жидкость с большей плотностью (вода $\rho = 1000\text{ кг/м}^3$ или ртуть $\rho = 13\,600\text{ кг/м}^3$).

сложное гидротехническое сооружение, воздвигаемое на реках, судоходных каналах и гидроэлектростанциях в обход плотин для безопасного перевода судов с одного водного горизонта на другой (из бьефа с высоким уровнем в бьеф с низким уровнем и наоборот) на основе принципа сообщающихся сосудов.

• 1. Устройство и циклограмма шлюзования — шлюз состоит из массивной бетонной камеры с герметичными воротами с обоих концов и донными перепускными галереями (клапанами). При открытии перепускных клапанов шлюзовая камера и прилегающий участок реки образуют сообщающиеся сосуды, благодаря чему уровень воды выравнивается самотеком без применения насосов.
• 2. Безопасность судоходства — судно заходит в камеру при выровненных уровнях, входные ворота герметично затворяются, после чего через систему галерей камера соединяется со следующим бьефом, поднимая или опуская судно на требуемую высоту.

разветвленная сеть напорных труб, действие которой базируется на законе сообщающихся сосудов:

• 1. Принцип действия водонапорной башни — насосная станция подает воду в резервуар водонапорной башни, расположенный на высокой отметке (выше всех потребителей в округе). Резервуар башни и комнатные водоразборные краны в зданиях образуют единую систему сообщающихся сосудов.
• 2. Формирование напора — благодаря гравитационному перепаду высот вода в трубах стремится подняться до уровня башни, создавая стабильное гидростатическое давление в квартирах потребителей.

прибор для визуального контроля уровня воды в закрытых промышленных резервуарах, автоклавах и паровых котлах (рис. 124), представляющий собой прочную прозрачную вертикальную трубку из боросиликатного стекла, соединенную с котлом верхним и нижним запорными кранами. Поскольку котел и трубка являются сообщающимися сосудами, уровень воды в стекле в точности совпадает с истинным уровнем жидкой фазы внутри непрозрачного металлического котла.

В повседневном домашнем обиходе сообщающимися сосудами являются:

• Заварочный чайник и кофейник: корпус чайника и его носик представляют собой классические сообщающиеся сосуды; носик всегда делают такой высоты, чтобы его верхний срез находился не ниже верхнего края самого чайника, иначе налитая вода переливалась бы через край.
• Садовая и комнатная лейка: резервуар лейки соединен у дна с длинным носиком-распылителем.
• Сантехнический сифон (гидрозатвор) под раковиной и унитазом: изогнутая U-образная труба задерживает столб воды на одном уровне, образуя герметичную водяную пробку, которая препятствует проникновению канализационных газов и неприятных запахов в жилое помещение.
• Водяной строительный уровень (гидроуровень): длинный гибкий прозрачный шланг с водой, позволяющий идеально выставлять горизонт на противоположных стенах комнаты при ремонте.
• Домашняя водопроводная система: распределительный стояк и смесители в ванной комнате и на кухне.

Расположение свободных поверхностей зависит от степени однородности и плотности жидкостей:

• Однородная жидкость: в сообщающихся сосудах любой геометрической формы и любого сечения поверхности покоящейся однородной жидкости всегда устанавливаются на одном и том же горизонтальном уровне независимо от наклона или формы сосудов ($h_1 = h_2$).
• Разнородные (несмешивающиеся) жидкости с разными плотностями: поверхности жидкостей устанавливаются на разных уровнях. На горизонтальном уровне границы раздела фаз гидростатические давления одинаковы, поэтому высоты столбов жидкостей, отсчитываемые от разделяющей их границы, оказываются обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:

$$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}.$$

Свободная поверхность жидкости с меньшей плотностью всегда располагается выше свободной поверхности более плотной жидкости.

Одинаковый уровень однородной жидкости объясняется законами гидростатического равновесия и формулой давления столба жидкости:

• Условие покоя: когда жидкость в сообщающихся трубках находится в состоянии механического равновесия и не перетекает из одного сосуда в другой, результирующая сила давления на любой поперечный слой в соединительной трубке равна нулю. Это означает, что встречные давления столбов жидкости слева ($p_1$) и справа ($p_2$) строго равны:

$$p_1 = p_2.$$

• Уравнение гидростатического давления: давление покоящегося столба жидкости вычисляется по формуле $p = \rho g h$. Следовательно:

$$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2.$$

• Вывод равенства уровней: поскольку налита одна и та же однородная жидкость, ее плотность одинакова во всех коленах ($\rho_1 = \rho_2 = \rho$). Разделив обе части равенства на постоянную величину $(\rho g)$, получаем:

$$h_1 = h_2.$$

Если бы уровень в одном из колен кратковременно повысился (например, при доливании воды), там возникло бы избыточное гидростатическое давление $p = \rho g h$, под действием которого жидкость мгновенно начала бы перетекать в соседнее колено до тех пор, пока давления и уровни не выровняются окончательно.

Судоходный шлюз представляет собой систему сообщающихся сосудов, связывающую участки реки или канала с разным уровнем воды (верхний бьеф с высоким уровнем $H_1$ и нижний бьеф с низким уровнем $H_2$):

• Проход судна сверху вниз (опускание судна):
• Ворота шлюзовой камеры закрыты. Открывается перепускной клапан (затвор), соединяющий шлюзовую камеру с верхним бьефом реки.
• Камера и верхний бьеф становятся сообщающимися сосудами: вода самотеком заполняет камеру до тех пор, пока уровень в ней не совпадет с верхним бьефом.
• Верхние ворота распахиваются, и судно беспрепятственно заплывает внутрь шлюзовой камеры, после чего верхние ворота герметично закрываются.
• Открывается нижний водоспускной клапан, соединяющий камеру с нижним бьефом. Теперь шлюзовая камера и нижний бьеф образуют сообщающиеся сосуды: вода из камеры сливается в нижний бьеф до полного выравнивания уровней.
• Нижние ворота открываются, и судно безопасно выходит в русло реки на нижнем уровне.
• Проход судна снизу вверх (подъем судна): процесс протекает в зеркальной последовательности: судно заходит при опорожненной камере, ворота закрываются, открывается перепуск из верхнего бьефа, уровень воды вместе с судном плавно поднимается до верхнего горизонта, после чего судно продолжает путь.

Общее в принципе работы:

И водопроводная сеть, и судоходный шлюз работают на одном и том же физическом законе — законе сообщающихся сосудов. В обеих системах перемещение и напор жидкости осуществляются за счет гравитационного стремления свободных поверхностей в сообщающихся полостях установиться на одном горизонтальном уровне под действием собственного веса и гидростатического давления.

Причина различия напора по этажам:

• Физический напор воды в трубопроводе определяется гидростатическим давлением столба жидкости, отсчитываемым от верхнего свободного уровня воды в накопительном баке водонапорной башни до точки водоразбора:

$$p = \rho g \Delta h = \rho g (H_{\text{башни}} - H_{\text{этажа}}).$$

• Разность высот: нижние этажи дома находятся значительно ниже резервуара башни, поэтому вертикальный перепад высот $\Delta h_{\text{низ}}$ максимален, что создает сильное давление и мощный напор из крана.
• Уменьшение перепада на верхних этажах: верхние этажи здания расположены ближе к горизонтальной плоскости резервуара башни. Вертикальный перепад высот $\Delta h_{\text{верх}}$ здесь минимален, гидростатическое давление $p = \rho g \Delta h_{\text{верх}}$ существенно ниже, а при движении воды часть давления дополнительно теряется на гидравлическое сопротивление и трение в стояках, из-за чего напор воды на верхних этажах оказывается заметно меньше.