§ 39. Расчёт давления жидкости на дно и стенки сосуда

фундаментальное аналитическое уравнение гидростатики, определяющее величину механического давления столба покоящейся однородной несжимаемой жидкости на дно и стенки сосуда, а также внутри жидкости на заданной глубине.

• 1. Математический вывод формулы — для сосуда в форме прямого параллелепипеда с площадью дна $S$ сила давления жидкости на дно равна ее весу: $F = P = mg$. Выражая массу через плотность и объем $m = \rho V = \rho S h$, получаем: $p = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S} = \frac{\rho V g}{S} = \frac{\rho S h g}{S} = \rho g h$.
• 2. Физические параметры и размерности — давление $p$ измеряется в паскалях ($\text{Па}$), плотность жидкости $\rho$ — в килограммах на кубический метр ($\text{кг/м}^3$), высота столба жидкости $h$ — в метрах ($\text{м}$), а ускорение свободного падения $g \approx 9{,}8\text{ Н/кг}$ (в учебных расчетах принимается $g \approx 10\text{ Н/кг} = 10\text{ м/с}^2$).

важнейшее следствие закона Паскаля и формулы $p = \rho g h$, согласно которому давление покоящейся жидкости на любой глубине $h$ определяется строго плотностью жидкости $\rho$ и высотой ее уровня, но совершенно не зависит от площади дна $S$, ориентации площадки и пространственной геометрии сосуда.

• 1. Давление на стенки сосуда — в силу изотропности передачи давления по закону Паскаля на одной и той же глубине $h$ жидкость оказывает одинаковое силовое давление во всех направлениях; поэтому давление на вертикальные и наклонные стенки сосуда в любой точке на уровне $h$ также строго подчиняется формуле $p = \rho g h$.
• 2. Сила гидростатического давления на дно — интегральная сила, с которой жидкость давит на плоское горизонтальное дно площади $S$, равна произведению гидростатического давления на площадь дна: $F = p S = \rho g h S$.

парадоксальное физическое явление, заключающееся в том, что сила давления покоящейся жидкости на дно сосуда может существенно отличаться от собственного веса налитой в этот сосуд жидкости, а также быть абсолютно одинаковой для сосудов совершенно разной формы при равных площадях дна и одинаковом уровне налитой жидкости (рис. 118).

• 1. Сосуды Паскаля (рис. 118) — если взять три сосуда с одинаковой площадью дна $S$ (цилиндрический, расширяющийся кверху и сужающийся кверху) и налить в них одну и ту же жидкость до одинаковой высоты $h$, сила давления на дно во всех трех сосудах будет строго одинаковой ($F = \rho g h S$), несмотря на то, что массы и веса жидкостей в них кардинально различаются.
• 2. Роль реакции стенок сосуда — в расширяющемся кверху сосуде наклонные стенки берут на себя часть веса жидкости (сила нормальной реакции стенок направлена вверх и компенсирует «избыток» веса жидкости, поэтому $F_{\text{дна}} < P_{\text{жидк}}$); в сужающемся сосуде стенки наклонены внутрь и сами давят на жидкость вниз, создавая добавочную нагрузку на дно ($F_{\text{дна}} > P_{\text{жидк}}$).

классический эксперимент, наглядно продемонстрировавший сокрушительное действие высокого столба жидкости:

• 1. Постановка эксперимента — в прочную, доверху наполненную водой деревянную бочку Паскаль герметично вставил длинную вертикальную трубку малого диаметра высотой около 10 метров, выходящую на балкон второго этажа.
• 2. Результат опыта — вылив в узкую трубку всего лишь одну кружку воды, ученый поднял уровень столба жидкости на 10 метров. Давление внутри бочки подскочило на $\Delta p = \rho g h \approx 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 10 \approx 98\,000\text{ Па} \approx 1\text{ атм}$. Переданное по закону Паскаля на огромную площадь внутренних стенок бочки давление породило гигантские распирающие силы в десятки тысяч ньютонов, которые с треском разорвали толстые дубовые клепки и стальные обручи бочки.

строгая физическая методология вычисления давления столба жидкости, требующая обязательного перевода всех величин в систему СИ, идентификации табличной плотности вещества и применения формулы $p = \rho g h$:

• 1. Канонический модельный пример учебника:

Дано:

$h = 0{,}15\text{ м}$

$\rho = 13\,600\text{ кг/м}^3$ (плотность ртути)

$g = 10\text{ м/с}^2$ (или $10\text{ Н/кг}$)

Найти:

$p$ — ?

Решение:

Давление ртути на дно цилиндрического сосуда рассчитывается по формуле гидростатического давления столба жидкости:

$$p = \rho g h$$

Подставим численные значения величин в единицах СИ:

$$p = 13\,600\text{ кг/м}^3 \cdot 10\text{ м/с}^2 \cdot 0{,}15\text{ м} = 20\,400\text{ Па} = 20{,}4\text{ кПа}.$$

Ответ: $p = 20{,}4\text{ кПа}$.

• 2. Зависимость от рода жидкости — при одинаковой глубине $h$ давление жидкости прямо пропорционально ее плотности: давление ртути в 13,6 раза превышает давление воды, а давление воды в 1,25 раза больше давления керосина или машинного масла ($\rho = 800\text{ кг/м}^3$).

Французский физик, математик, механик и философ, один из основоположников классической гидростатики. Сформулировал фундаментальный закон распределения давления в жидкостях и газах, позволивший вывести законы давления на дно и стенки сосудов и разрешить гидростатический парадокс.

• Установил, что давление в покоящейся жидкости передаётся во все стороны одинаково, благодаря чему формула гидростатического давления p = ρgh применима для расчёта сил, действующих на дно и стенки сосудов произвольной формы.
• Теоретически и экспериментально объяснил гидростатический парадокс, доказав, что сила давления жидкости на дно сосуда определяется только высотой столба и плотностью жидкости, а не её общей массой или формой сосуда.
• В честь фундаментальных открытий учёного в области гидростатики и давления единица измерения давления в Международной системе единиц (СИ) была названа паскалем (Па).

Согласно выведенной физической формуле $p = \rho g h$, давление жидкости на дно сосуда определяется двумя фундаментальными факторами:

• Плотностью налитой жидкости ($\rho$): чем больше плотность жидкости, тем больше масса единицы ее объема и тем больший вес приходится на опорную площадку дна при неизменной высоте столба (давление прямо пропорционально плотности, $p \sim \rho$).
• Высотой столба жидкости ($h$): глубиной от свободной поверхности жидкости до плоскости дна (давление прямо пропорционально высоте столба, $p \sim h$).
• Важное физическое примечание: давление жидкости на дно абсолютно не зависит от площади дна сосуда $S$ и геометрической формы сосуда.

Использование единой формулы $p = \rho g h$ для расчета давления на дно и на боковые стенки сосуда строго обосновано законом Паскаля и свойством изотропии давления в покоящихся флюидах:

• Изотропность давления на заданной глубине: в покоящейся жидкости на одном и том же горизонтальном горизонте (на одной и той же глубине $h$) давление передается частицами одинаково по всем возможным направлениям без изменения.
• Равноправие площадок: если мы мысленно выделим маленькую плоскую площадку на глубине $h$, то независимо от того, как именно она ориентирована в пространстве — горизонтально (как дно сосуда), вертикально (как боковая стенка) или под произвольным наклоном, — набегающие хаотически движущиеся молекулы жидкости будут оказывать на нее строго одинаковое нормальное силовое давление.
• Вывод: давление жидкости на стенку сосуда в любой точке, находящейся на глубине $h$ от свободной поверхности, в точности равно давлению на дно на этом же уровне и рассчитывается по той же формуле: $p = \rho g h$.

Чтобы рассчитать гидростатическое давление внутри однородной несжимаемой жидкости на произвольной глубине $h$, необходимо воспользоваться формулой гидростатического давления столба жидкости:

$$p = \rho g h$$

где:

• $p$ — искомое давление внутри жидкости (в паскалях, $\text{Па}$);
• $\rho$ — плотность рассматриваемой жидкости (в килограммах на кубический метр, $\text{кг/м}^3$, определяется по справочным таблицам плотностей);
• $g$ — ускорение свободного падения (вблизи поверхности Земли принимается равным $g \approx 9{,}8\text{ Н/кг} \approx 10\text{ Н/кг}$ или $\text{м/с}^2$);
• $h$ — глубина погружения (вертикальное расстояние от свободной верхней поверхности жидкости до исследуемой точки, выраженное в метрах, $\text{м}$).

Примечание: если требуется найти полное (абсолютное) давление на глубине $h$ в открытом сосуде или водоеме с учетом воздействия атмосферы Земли, к гидростатическому давлению столба жидкости прибавляется внешнее атмосферное давление $p_0$:

$$p_{\text{полн}} = p_0 + \rho g h.$$

Различие между весом налитой жидкости ($P = mg$) и силой ее гидростатического давления на дно ($F = p S = \rho g h S$) получило название гидростатического парадокса и объясняется взаимодействием жидкости с наклонными стенками сосуда:

• В сосуде цилиндрической формы (рис. 118, сосуд 1): стенки строго вертикальны и не оказывают вертикальных опорных воздействий. Сила давления на горизонтальное дно в точности равна весу налитой жидкости: $F_{\text{дна}} = P_{\text{жидк}}$.
• В сосуде, расширяющемся кверху (рис. 118, сосуд 2): стенки наклонены наружу. Жидкость давит на них, а стенки по третьему закону Ньютона действуют на жидкость с силами нормальной реакции, направленными наклонно вверх. Вертикальные составляющие сил реакции стенок удерживают на весу часть вышележащей жидкости. В итоге на дно давит только центральный воображаемый столб жидкости высотой $h$ и основанием $S$, а избыточный вес боковых объемов жидкости воспринимается стенками. Поэтому сила давления на дно меньше суммарного веса жидкости в сосуде: $F_{\text{дна}} < P_{\text{жидк}}$.
• В сосуде, сужающемся кверху (рис. 118, сосуд 3): стенки наклонены внутрь. Жидкость стремится расшириться, а наклонные стенки давят на нее с силами реакции, направленными наклонно вниз. Вертикальные составляющие этого давления стенок передаются по закону Паскаля на дно сосуда, создавая дополнительную нагрузку сверх собственного веса жидкости. В результате сила давления на дно оказывается больше веса налитой жидкости: $F_{\text{дна}} > P_{\text{жидк}}$.

Ответ: Да, весы будут находиться в строгом равновесии.

Научная аргументация:

• Что измеряют весы: рычажные чашечные весы реагируют на совокупный вес тел, установленных на их чашах, то есть на полную гравитационную силу тяжести $F_{\text{тяж}} = (m_{\text{сосуда}} + m_{\text{воды}}) g$.
• Условие опыта: по условию задачи сосуды 2 и 3 имеют абсолютно одинаковый внутренний объем ($V_2 = V_3$), изготовлены из одинакового материала и доверху наполнены водой.
• Равенство масс: поскольку объемы налитой воды одинаковы и плотность воды постоянна ($\rho_{\text{воды}} = 1000\text{ кг/м}^3$), массы воды в обоих сосудах строго равны ($m_2 = \rho V = m_3$). При равенстве собственной массы сосудов суммарные массы и полные веса обоих сосудов с водой абсолютно одинаковы.
• Различие внутренних сил и суммарный вес: хотя гидростатическая сила давления на дно у сужающегося сосуда больше, чем у расширяющегося ($F_{\text{дна } 3} > F_{\text{дна } 2}$), весы измеряют суммарное результирующее силовое действие всей замкнутой механической системы «сосуд + жидкость» на внешнюю опору (чашу весов). Все внутренние перераспределения сил давления между дном и стенками являются внутренними силами системы и не изменяют ее полного гравитационного веса. Следовательно, чаши весов останутся в идеальном равновесии.