§ 44. Последовательное соединение проводников

способ соединения элементов электрической цепи, при котором проводники соединяются друг за другом поочерёдно без разветвлений (конец первого проводника соединяется с началом второго и т. д.):

• 1. Принцип непрерывности цепи — весь электрический заряд, прошедший через первый проводник, неизбежно проходит через все последующие проводники цепи.
• 2. Особенность функционирования — при размыкании цепи или выходе из строя (перегорании) хотя бы одного потребителя ток прекращается во всей цепи.

сила тока одинакова во всех проводниках и на любых участках последовательной электрической цепи:

• 1. Математическая запись — $I = I_1 = I_2 = \ldots = I_n$.
• 2. Физическое обоснование — закон сохранения электрического заряда: в замкнутой цепи электрические заряды не накапливаются в проводниках и узлах и не исчезают, поэтому через любое поперечное сечение за единицу времени проходит строго одинаковое количество электричества.

полное напряжение в цепи (или напряжение на концах участка последовательно соединённых проводников) равно сумме напряжений на отдельных проводниках:

• 1. Математическая запись — $U = U_1 + U_2 + \ldots + U_n$.
• 2. Физическое обоснование — электрическое напряжение численно равно работе поля по перемещению единичного электрического заряда ($U = \frac{A}{q}$). Полная работа электрического поля складывается из суммы работ по перемещению заряда через каждый проводник ($A = A_1 + A_2$).

полное сопротивление группы последовательно соединённых проводников равно сумме электрических сопротивлений каждого из них:

• 1. Формула для разнородных проводников — $R = R_1 + R_2 + \ldots + R_n$.
• 2. Формула для $n$ одинаковых проводников — $R = n \cdot R_1$, где $R_1$ — сопротивление одного проводника.
• 3. Физический и геометрический смысл — последовательное соединение проводников одинакового сечения эквивалентно увеличению общей длины проводника ($l = l_1 + l_2$), поэтому общее сопротивление цепи всегда больше сопротивления любого отдельно взятого проводника ($R > R_i$).

напряжения на концах последовательно соединённых проводников прямо пропорциональны их электрическим сопротивлениям:

• 1. Формула — $\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}$ (выводится из закона Ома при условии равенства сил токов: $I = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U_2}{R_2}$). Чем выше сопротивление участка, тем большее напряжение на нём падает.

Последовательным называют такое соединение проводников, при котором конец первого проводника соединяется с началом второго, конец второго — с началом третьего и так далее, образуя единую неразветвлённую цепочку элементов. При таком включении через все проводники протекает один и тот же электрический заряд.

• Описание схемы соединения (по рис. 106 и 107 учебника): в замкнутую цепь последовательно друг за другом включены: источник постоянного тока (гальванический элемент или батарея), ключ, первый резистор ($R_1$), второй резистор ($R_2$) и амперметр ($A$), соединённые соединительными проводами в единое кольцо без разветвлений. Для измерения напряжений параллельно резистору $R_1$ подключается вольтметр $V_1$, параллельно резистору $R_2$ — вольтметр $V_2$, а параллельно обоим резисторам — общий вольтметр $V$.

При последовательном соединении одинаковой для всех проводников является сила тока ($I = I_1 = I_2$).

• Объяснение: сила тока численно равна заряду, проходящему через поперечное сечение проводника за единицу времени ($I = \frac{q}{t}$). Согласно фундаментальному закону сохранения электрического заряда, в проводниках постоянного тока электрические заряды нигде не накапливаются и новые заряды не образуются. Поскольку между проводниками нет боковых ответвлений, весь заряд, прошедший через поперечное сечение первого проводника за секунду, вынужден полностью пройти и через сечение второго проводника. Следовательно, сила тока во всех участках неразветвлённой цепи строго одинакова.

Общее напряжение на участке цепи, состоящем из последовательно соединённых проводников, находится как сумма напряжений на каждом из этих проводников:

$$U = U_1 + U_2 + \ldots + U_n$$

• Обоснование: напряжение выражает работу электрического поля по перемещению единичного электрического заряда ($U = \frac{A}{q}$). Так как полная работа электрического поля по перемещению заряда через весь участок цепи равна сумме работ по перемещению заряда через каждый проводник в отдельности ($A = A_1 + A_2$), деление обеих частей равенства на заряд $q$ даёт формулу сложения напряжений.

Общее сопротивление последовательно соединённых проводников равно сумме сопротивлений каждого из проводников:

$$R = R_1 + R_2 + \ldots + R_n$$

• Вывод: из соотношения для напряжений $U = U_1 + U_2$ и закона Ома для участка цепи ($U = I \cdot R$, $U_1 = I \cdot R_1$, $U_2 = I \cdot R_2$) следует:

$$I \cdot R = I \cdot R_1 + I \cdot R_2$$

Сокращая обе части уравнения на общую для всех участков силу тока $I \neq 0$, получаем расчётную формулу общего сопротивления:

$$R = R_1 + R_2$$

Если соединены $n$ одинаковых проводников с сопротивлением $R_1$, их общее сопротивление равно:

$$R = n \cdot R_1$$

Дано:

$I_1 = 2\text{ А}$

$U_1 = 4\text{ В}$

$I_2 = 2\text{ А}$

$U_2 = 10\text{ В}$

$U = 14\text{ В}$

Найти:

Тип соединения резисторов (последовательное — ?)

Решение:

• Проверим выполнение первого критерия последовательного соединения проводников — равенство сил токов:

$$I_1 = I_2 = 2\text{ А}$$

Сила тока, протекающего через первый резистор, в точности равна силе тока через второй резистор.

• Проверим выполнение второго критерия последовательного соединения — аддитивность напряжений (сложение напряжений на отдельных участках):

$$U_1 + U_2 = 4\text{ В} + 10\text{ В} = 14\text{ В}$$

Измеренное суммарное напряжение на обоих резисторах также в точности равно $U = 14\text{ В}$, то есть условие $U = U_1 + U_2$ строго выполняется.

• Сопротивления резисторов:

$$R_1 = \frac{U_1}{I_1} = \frac{4\text{ В}}{2\text{ А}} = 2\text{ Ом}$$

$$R_2 = \frac{U_2}{I_2} = \frac{10\text{ В}}{2\text{ А}} = 5\text{ Ом}$$

Общее сопротивление цепи: $R = \frac{U}{I} = \frac{14\text{ В}}{2\text{ А}} = 7\text{ Ом} = R_1 + R_2 = 2\text{ Ом} + 5\text{ Ом} = 7\text{ Ом}$.

Оба признака последовательного соединения полностью подтверждены экспериментальными данными.

Ответ: Да, можно утверждать, что резисторы соединены последовательно, так как сила тока в них одинакова ($I_1 = I_2 = 2\text{ А}$), а общее напряжение равно сумме напряжений на каждом резисторе ($U = U_1 + U_2 = 4\text{ В} + 10\text{ В} = 14\text{ В}$).