§ 45. Параллельное соединение проводников

способ соединения элементов электрической цепи, при котором одни концы всех проводников соединяются в одной общей узловой точке ($A$), а другие концы — во второй общей узловой точке ($B$):

• 1. Принцип автономности потребителей — каждый проводник (прибор) образует самостоятельную замкнутую ветвь цепи, подключённую к общему источнику питания.
• 2. Независимость работы — включение или выключение (перегорание) одного из потребителей не разрывает цепь других ветвей и не нарушает их нормальное функционирование.

электрическое напряжение на концах всех параллельно включённых проводников строго одинаково и равно напряжению на общем разветвлённом участке цепи:

• 1. Математическая запись — $U = U_1 = U_2 = \ldots = U_n$.
• 2. Физическое обоснование — все параллельные ветви подключены непосредственно к одним и тем же двум общим точкам (узлам $A$ и $B$), поэтому разность потенциалов между концами каждого проводника является общей и неизменной.

сила тока в неразветвлённой части электрической цепи равна сумме сил токов в её отдельных параллельных ветвях:

• 1. Математическая запись — $I = I_1 + I_2 + \ldots + I_n$.
• 2. Физическое обоснование — фундаментальный закон сохранения электрического заряда: в узловой точке проводника свободные электрические заряды не накапливаются и новые заряды не образуются, поэтому суммарный поток свободных электронов в неразветвлённом проводе делится между параллельными ветвями пропорционально их проводимости.

силы токов в параллельно соединённых проводниках обратно пропорциональны их электрическим сопротивлениям:

• 1. Математическая запись — $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}$ (следует из равенства напряжений по закону Ома: $I_1 R_1 = I_2 R_2 = U$).
• 2. Физический смысл — через ветвь с меньшим электрическим сопротивлением протекает пропорционально больший ток («ток течёт по пути наименьшего сопротивления»).

величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого из параллельно включённых проводников:

• 1. Основная формула — $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots + \frac{1}{R_n}$.
• 2. Формула для двух параллельных проводников — $R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$.
• 3. Формула для $n$ одинаковых проводников — $R = \frac{R_1}{n}$, где $R_1$ — сопротивление одной ветви.
• 4. Свойство уменьшения общего сопротивления — подключение параллельно любого дополнительного проводника всегда уменьшает общее сопротивление участка цепи ($R < R_{\text{min}}$), поскольку добавление каждой новой ветви физически эквивалентно увеличению общей площади поперечного сечения проводящего канала цепи.

Параллельным называют такое соединение проводников, при котором одни концы всех проводников соединяются в одной общей точке цепи (узле $A$), а другие их концы — во второй общей точке цепи (узле $B$). При этом каждый проводник подключается непосредственно к тем же двум узловым точкам.

• Описание схемы параллельного соединения (по рис. 108, б и 109 учебника): от источника тока через ключ провод идёт к узлу разветвления $A$. В точке $A$ цепь разделяется на две (или более) параллельные ветви: в верхнюю ветвь включён резистор $R_1$ последовательно со своим амперметром $A_1$, в нижнюю ветвь включён резистор $R_2$ последовательно со своим амперметром $A_2$. Обе ветви сходятся во втором узле $B$, от которого общий провод через общий амперметр возвращается к источнику. Вольтметр $V$ подключается параллельно узлам $A$ и $B$ для измерения общего напряжения цепи.

Для всех параллельно соединённых проводников одинаковой физической величиной является электрическое напряжение ($U = U_1 = U_2$).

• Объяснение: напряжение численно равно работе электрического поля по перемещению единичного заряда между двумя точками поля (разности потенциалов). Так как все параллельно соединённые проводники своими концами присоединены к одним и тем же двум общим узловым точкам цепи (точкам $A$ и $B$), разность потенциалов между концами каждого проводника одна и та же и равна напряжению между узлами $A$ и $B$.

Сила тока в неразветвлённой части цепи определяется как сумма сил токов во всех параллельных участках (ветвях):

$$I = I_1 + I_2 + \ldots + I_n$$

• Обоснование: этот вывод непосредственно вытекает из фундаментального закона сохранения электрического заряда. Поскольку в узловой точке проводника свободные электрические заряды не возникают и не накапливаются, суммарный заряд $q$, втекающий в узел по общему проводу за единицу времени $t$, равен сумме зарядов ($q_1 + q_2$), растекающихся по отдельным параллельным ветвям: $\frac{q}{t} = \frac{q_1}{t} + \frac{q_2}{t}$, откуда $I = I_1 + I_2$.

При увеличении числа параллельно соединённых проводников общее электрическое сопротивление участка цепи уменьшается.

• Объяснение: подключение каждого нового проводника создаёт дополнительный путь (параллельный канал) для движения свободных носителей заряда между двумя узлами. Это физически эквивалентно увеличению общей площади поперечного сечения проводника цепи при неизменной длине ($R = \frac{\rho l}{S}$). Чем больше параллельных путей предоставлено току, тем меньше суммарное противодействие цепи движению зарядов, тем больше общий ток при данном напряжении ($I = \frac{U}{R}$) и тем меньше эквивалентное общее сопротивление $R$. Общее сопротивление параллельного участка всегда оказывается меньше самого маленького сопротивления из включённых ветвей.

Лампы в люстре соединены параллельно.

• Обоснование:
• Независимость работы ламп: если перегорает одна лампа (или её выкручивают из патрона), остальные лампы продолжают светить с прежней яркостью, так как электрическая цепь остальных параллельных ветвей остаётся замкнутой.
• Равенство рабочих напряжений: все лампы в бытовой люстре рассчитаны на стандартное номинальное напряжение городской сети $220\text{ В}$. При параллельном соединении напряжение на каждой лампе одинаково и равно полному напряжению электросети ($U = U_1 = U_2 = 220\text{ В}$), что обеспечивает их полноценное горение с паспортной мощностью. Если бы лампы были соединены последовательно, то при перегорании одной гасла бы вся люстра, а напряжение $220\text{ В}$ делилось бы между лампами, заставляя их гореть вполнакала.

Вывод формулы общего сопротивления параллельного соединения:

• Рассмотрим участок цепи, состоящий из двух параллельно включённых проводников с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$, находящихся под общим напряжением $U$.
• Согласно закону сложения токов для параллельного соединения, общий ток $I$ в неразветвлённой части цепи равен сумме токов в ветвях:

$$I = I_1 + I_2$$

• Запишем закон Ома для участка цепи для каждого элемента:
• Для неразветвлённой цепи с общим сопротивлением $R$: $I = \frac{U}{R}$
• Для первой параллельной ветви: $I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U}{R_1}$ (так как $U_1 = U$)
• Для второй параллельной ветви: $I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_2}$ (так как $U_2 = U$)
• Подставим выражения для токов в формулу сложения токов:

$$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$$

• Разделим обе части равенства на общее напряжение $U \neq 0$:

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$$

Получена фундаментальная формула для расчёта величины, обратной общему сопротивлению параллельного участка цепи.

• Для нахождения самого сопротивления $R$ двух проводников приведём дроби в правой части к общему знаменателю:

$$\frac{1}{R} = \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2}$$

Переворачивая дробь, получаем рабочую формулу общего сопротивления двух параллельных проводников:

$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$