§ 47. Архимедова сила

выталкивающая гидростатическая или аэростатическая сила, действующая на любое тело, погруженное в жидкость или газ, направленная вертикально вверх и численно равная весу вытесненной телом среды.

• 1. Обозначение и единицы СИ — обозначается вектором $\vec{F}_{\text{А}}$ (или $F_{\text{А}}$ по модулю); в Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах ($\text{Н}$).
• 2. Физическая сущность — представляет собой интегральную результирующую сил гидростатического давления, действующих со стороны окружающей среды на все замкнутые участки поверхности погруженного тела.

фундаментальный закон механики жидкостей и газов, сформулированный древнегреческим ученым Архимедом в III в. до н. э.:

• 1. Каноническая формулировка — на тело, погруженное в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (или газа) в объеме части этого тела, погруженной в жидкость:

$$F_{\text{А}} = P_{\text{ж}} = m_{\text{ж}} g.$$

• 2. Расчетная формула закона Архимеда — масса вытесненной жидкости выражается через ее плотность $\rho_{\text{ж}}$ и объем погруженной части тела $V_{\text{п. ч}}$ ($m_{\text{ж}} = \rho_{\text{ж}} V_{\text{п. ч}}$), откуда следует математическая зависимость:

$$F_{\text{А}} = \rho_{\text{ж}} V_{\text{п. ч}} g.$$

• 3. Факторы зависимости — архимедова сила прямо пропорциональна плотности среды $\rho_{\text{ж}}$ и объему погруженной части тела $V_{\text{п. ч}}$, но абсолютно не зависит от плотности самого погруженного тела, его массы, материала или глубины погружения (при полном погружении в несжимаемую жидкость).

классический демонстрационный прибор для прямого экспериментального доказательства закона Архимеда (рис. 154):

• 1. Конструкция установки — спиральная пружина со стрелкой-указателем, подвешенное полое цилиндрическое ведерко и сплошной металлический цилиндр, объем которого строго равен внутреннему объему ведерка.
• 2. Первый этап (погружение) — при погружении сплошного цилиндра в отливной стакан с водой (рис. 154, б) вытесняется объем воды $V_{\text{ж}} = V_{\text{тела}}$. Стрелка пружины поднимается вверх, наглядно демонстрируя уменьшение натяжения подвеса на величину выталкивающей силы $F_{\text{А}}$.
• 3. Второй этап (восстановление равновесия) — вылившуюся в стакан воду аккуратно переливают обратно в полое ведерко (рис. 154, в). Вода заполняет ведерко до краев, и стрелка-указатель возвращается строго к первоначальной отметке, неопровержимо доказывая, что выталкивающая сила в точности равна весу вытесненной телом жидкости ($F_{\text{А}} = P_{\text{ж}}$).

сила воздействия тела на подвес или опору при погружении в жидкость:

• 1. Формула разгрузки веса — вес погруженного тела уменьшается ровно на величину развиваемой архимедовой силы:

$$P_1 = P - F_{\text{А}} = mg - \rho_{\text{ж}} V_{\text{п. ч}} g.$$

• 2. Закон потери веса — тело, погруженное в жидкость (или газ), теряет в своем весе ровно столько, сколько весит вытесненная им жидкость (или газ).

уменьшение веса тел в газовой среде из-за атмосферной архимедовой силы:

• 1. Влияние плотности и объема — при одинаковой массе ($m = 1\text{ т}$) объем куска дерева значительно больше объема компактного слитка железа ($\rho_{\text{дерева}} < \rho_{\text{железа}} \implies V_{\text{дерева}} > V_{\text{железа}}$). Вследствие этого в воздухе на тонну дерева действует большая архимедова сила ($F_{\text{А}} = \rho_{\text{возд}} V g$), и на точных рычажных весах в вакууме дерево перевесит железо.
• 2. Практическое значение — в обыденной жизни из-за малой плотности воздуха ($\rho_{\text{возд}} \approx 1{,}29\text{ кг/м}^3$) этой аэростатической потерей веса пренебрегают, но она имеет решающее значение при градуировке эталонов массы и в воздухоплавании.

• 1. Дано:

$$V_{\text{т}} = 15\text{ дм}^3$$

$$\rho_{\text{ж}} = 13\,600\text{ кг/м}^3$$

$$g = 10\text{ м/с}^2$$

• 2. СИ:

$$V_{\text{т}} = 0{,}015\text{ м}^3$$

• 3. Найти:

$$F_{\text{А}} - ?$$

• 4. Решение:

По закону Архимеда для полностью погруженного тела ($V_{\text{п. ч}} = V_{\text{т}}$):

$$F_{\text{А}} = \rho_{\text{ж}} V_{\text{п. ч}} g.$$

Подставим числовые значения физических величин:

$$F_{\text{А}} = 13\,600\text{ кг/м}^3 \cdot 0{,}015\text{ м}^3 \cdot 10\text{ м/с}^2 = 2040\text{ Н} \approx 2\text{ кН}.$$

• 5. Ответ:

$$F_{\text{А}} \approx 2\text{ кН}.$$

Древнегреческий учёный, великий математик, механик и инженер античности, один из основоположников гидростатики и теоретической механики. Сформулировал фундаментальный закон о выталкивающей силе, действующей на тела в жидкостях и газах, и разработал методы гидростатического взвешивания.

• Экспериментально и теоретически открыл фундаментальный закон гидростатики (закон Архимеда), установив, что на погружённое в жидкость или газ тело действует направленная вверх выталкивающая сила, в точности равная весу вытесненного объёма жидкости или газа.
• Для наглядного подтверждения закона предложил опыт со специальным ведёрком и отливным сосудом (ведёрко Архимеда), доказав, что уменьшение веса погружённого в воду тела в точности равно весу собранной в стакан вытесненной воды.
• По исторической легенде, с возгласом «Эврика!» открыл способ определения состава сплавов при погружении тел в воду, успешно разоблачив обман мастера, подмешавшего серебро в золотую корону сиракузского царя Гиерона.

1. Описание опыта с ведёрком Архимеда (рис. 154):

• К пружине с наглядной стрелкой-указателем последовательно подвешивают полое металлическое ведёрко и сплошной цилиндр, внутренний объём ведёрка в точности равен внешнему объёму цилиндра (рис. 154, а). Исходное растяжение пружины под действием силы тяжести тел отмечают меткой.
• Цилиндр опускают в отливной сосуд, предварительно налитый водой до самого носика сливной трубки (рис. 154, б).
• Погружаясь, цилиндр вытесняет в подставленный мерный стакан объем воды, в точности равный объему самого цилиндра ($V_{\text{выт}} = V_{\text{цил}}$).
• Пружина сжимается, а стрелка поднимается вверх, показывая, что вес цилиндра в воде уменьшился под действием направленной вверх выталкивающей силы.
• Не вынимая цилиндр из отливного сосуда, вылившуюся в стакан воду аккуратно выливают в подвешенное полое ведёрко (рис. 154, в). Вода целиком заполняет объём ведёрка, пружина вновь растягивается, и стрелка возвращается в исходное положение.

2. Вывод из опыта:

Опыт со всей строгостью доказывает, что выталкивающая архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость тело, в точности равна весу жидкости, вытесненной этим телом:

$$F_{\text{А}} = P_{\text{ж}} = m_{\text{ж}} g.$$

Архимедовой силой (или выталкивающей силой) называют результирующую силу давления жидкости или газа, направленную вертикально вверх и выталкивающую погруженное в них тело.

• Архимедова сила равна весу жидкости или газа в объеме части тела, погруженной в эту среду:

$$F_{\text{А}} = P_{\text{ж}} = m_{\text{ж}} g.$$

Она обозначается символом $F_{\text{А}}$ в честь древнегреческого ученого Архимеда, впервые открывшего и сформулировавшего этот фундаментальный закон гидростатики.

Архимедову силу рассчитывают по формуле:

$$F_{\text{А}} = \rho_{\text{ж}} V_{\text{п. ч}} g,$$

где:

• $F_{\text{А}}$ — архимедова сила ($\text{Н}$);
• $\rho_{\text{ж}}$ — плотность жидкости или газа, в которую погружено тело ($\text{кг/м}^3$);
• $V_{\text{п. ч}}$ — объём части тела, погружённой в жидкость или газ ($\text{м}^3$);
• $g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9{,}8\text{ Н/кг}$ или $g \approx 10\text{ Н/кг}$).

Зависимость архимедовой силы:

• Архимедова сила прямо пропорциональна:
• Плотности жидкости или газа ($\rho_{\text{ж}}$): чем плотнее среда, тем больше гидростатическое давление на дно тела и тем больше действующая на него выталкивающая сила (например, в соленой морской воде или ртути архимедова сила значительно больше, чем в пресной воде или воздухе).
• Объёму погруженной части тела ($V_{\text{п. ч}}$): при увеличении объема погруженного тела (или доли его погружения) возрастает объем вытесненной среды, а следовательно, прямо пропорционально увеличивается архимедова сила.
• Архимедова сила НЕ зависит:
• от плотности вещества самого погруженного тела ($\rho_{\text{т}}$) и его массы при одинаковом объеме (на стальной, алюминиевый и стеклянный шарики равного объема действует строго одна и та же архимедова сила);
• от геометрической формы тела;
• от глубины погружения тела в несжимаемую жидкость (поскольку разность давлений $\Delta p = \rho_{\text{ж}} g h_{\text{тела}}$ между верхней и нижней гранями при опускании на любую глубину остается постоянной).

Анализ изменения силы на поверхности Луны:

• По закону Архимеда выталкивающая сила выражается формулой:

$$F_{\text{А}} = \rho_{\text{ж}} V_{\text{п. ч}} g.$$

• Плотность ртути $\rho_{\text{ж}} = 13\,600\text{ кг/м}^3$ и объем погруженного тела $V_{\text{п. ч}} = 0{,}015\text{ м}^3$ при переносе на Луну остаются абсолютно неизменными.
• Однако ускорение свободного падения на Луне ($g_{\text{Л}} \approx 1{,}62\text{ м/с}^2$) примерно в $6$ раз меньше, чем на Земле ($g_{\text{З}} \approx 9{,}8\text{–}10\text{ м/с}^2$):

$$\frac{g_{\text{З}}}{g_{\text{Л}}} \approx \frac{9{,}8}{1{,}62} \approx 6.$$

• Вследствие шестикратного уменьшения веса вытесненной ртути выталкивающая архимедова сила в корабле на поверхности Луны также уменьшится ровно в 6 раз и составит:

$$F_{\text{А, Луна}} = 13\,600\text{ кг/м}^3 \cdot 0{,}015\text{ м}^3 \cdot 1{,}62\text{ м/с}^2 \approx 330{,}5\text{ Н}$$

(вместо земных $2040\text{ Н}$).