§ 48. Плавание тел

фундаментальные физические соотношения между силой тяжести ($F_{\text{тяж}} = \rho_{\text{т}} V_{\text{т}} g$) и архимедовой выталкивающей силой ($F_{\text{А}} = \rho_{\text{ж}} V_{\text{т}} g$), определяющие характер поведения полностью погруженного в жидкость или газ тела (рис. 156):

• 1. Условие погружения (тело тонет) — если сила тяжести больше архимедовой силы ($F_{\text{тяж}} > F_{\text{А}}$), результирующая сила направлена вниз, и тело опускается на дно; через плотности:

$$\rho_{\text{т}} V_{\text{т}} g > \rho_{\text{ж}} V_{\text{т}} g \implies \rho_{\text{т}} > \rho_{\text{ж}}.$$

• 2. Условие подъема (тело всплывает) — если сила тяжести меньше архимедовой силы ($F_{\text{тяж}} < F_{\text{А}}$), результирующая сила направлена вверх, и тело ускоренно поднимается к поверхности; через плотности:

$$\rho_{\text{т}} V_{\text{т}} g < \rho_{\text{ж}} V_{\text{т}} g \implies \rho_{\text{т}} < \rho_{\text{ж}}.$$

• 3. Условие безразличного равновесия (тело плавает внутри) — если сила тяжести в точности равна архимедовой силе ($F_{\text{тяж}} = F_{\text{А}}$), тело находится в равновесии на любой глубине толщи жидкости; через плотности:

$$\rho_{\text{т}} = \rho_{\text{ж}}.$$

состояние статического равновесия частично погруженного тела при выходе на границу раздела фаз «жидкость — воздух»:

• 1. Механизм установления равновесия — при всплытии тела и пересечении поверхности объем погруженной части уменьшается, вследствие чего архимедова сила падает до тех пор, пока не станет в точности равной неизменной силе тяжести ($F_{\text{А}} = F_{\text{тяж}}$).
• 2. Закон плавания — тело плавает на поверхности жидкости, если вес вытесненной им жидкости в объеме погруженной части строго равен силе тяжести (весу тела в воздухе):

$$P_{\text{выт. ж}} = P_{\text{тела}} = mg.$$

глубина и доля объема погружения плавающего объекта в жидкость (рис. 157):

• 1. Аналитическая формула доли погружения:

Из условия плавания $F_{\text{тяж}} = F_{\text{А}}$ следует:

$$\rho_{\text{т}} V_{\text{т}} g = \rho_{\text{ж}} V_{\text{п. ч}} g \implies \frac{V_{\text{п. ч}}}{V_{\text{т}}} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}.$$

• 2. Физическое правило — чем меньше плотность твердого тела по сравнению с плотностью жидкости, тем меньшая часть его объема погружена в жидкость (например, пробка погружается лишь на четверть, дуб — на три четверти, а лед — на $90\%$).

• 1. Дано:

$$V = 1\text{ м}^3$$

$$\rho_{\text{л}} = 900\text{ кг/м}^3$$

$$\rho_{\text{в}} = 1000\text{ кг/м}^3$$

• 2. Найти:

$$V_{\text{п. ч}} - ?$$

• 3. Решение:

На плавающую льдину действуют сила тяжести $F_{\text{тяж}} = \rho_{\text{л}} V g$ и архимедова сила $F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} V_{\text{п. ч}} g$.

Поскольку айсберг находится в гидростатическом равновесии на поверхности океана:

$$F_{\text{тяж}} = F_{\text{А}} \implies \rho_{\text{л}} V g = \rho_{\text{в}} V_{\text{п. ч}} g.$$

Выразим объем подводной части:

$$V_{\text{п. ч}} = \frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}} \cdot V.$$

Подставим числовые значения:

$$V_{\text{п. ч}} = \frac{900\text{ кг/м}^3}{1000\text{ кг/м}^3} \cdot 1\text{ м}^3 = 0{,}9\text{ м}^3.$$

• 4. Ответ:

$$V_{\text{п. ч}} = 0{,}9\text{ м}^3$$ (ровно $90\%$ объема айсберга скрыто под водой).

адаптивные механизмы регуляции средней плотности тела обитателей гидросферы:

• 1. Плотность живых тканей — средняя плотность тела рыб и морских млекопитающих практически неотличима от плотности окружающей воды, благодаря чему их вес полностью компенсируется архимедовой силой, а скелеты не несут колоссальных весовых нагрузок.
• 2. Плавательный пузырь рыб — специализированный внутренний газовый орган; сжимая пузырь мышцами, рыба уменьшает свой объем, увеличивает среднюю плотность ($\rho_{\text{рыбы}} > \rho_{\text{воды}}$) и погружается; расширяя пузырь, рыба уменьшает плотность ($\rho_{\text{рыбы}} < \rho_{\text{воды}}$) и всплывает на нужную глубину без мускульных затрат энергии.

проявление условий плавания в атмосфере:

• 1. Тепловая конвекция — плотность нагретого воздуха меньше плотности окружающего холодного воздуха ($\rho_{\text{тепл}} < \rho_{\text{холод}}$), вследствие чего архимедова сила выталкивает теплые воздушные массы и дым из печных и заводских труб вертикально вверх.

Условия плавания тел, погруженных в жидкость:

• Тело тонет (опускается на дно сосуда):
• Через силы: если сила тяжести больше архимедовой силы ($F_{\text{тяж}} > F_{\text{А}}$).
• Через плотности: если плотность тела больше плотности жидкости ($\rho_{\text{т}} > \rho_{\text{ж}}$).
• Тело плавает (находится в равновесии на любой глубине внутри жидкости):
• Через силы: если сила тяжести равна архимедовой силе ($F_{\text{тяж}} = F_{\text{А}}$).
• Через плотности: если плотность тела равна плотности жидкости ($\rho_{\text{т}} = \rho_{\text{ж}}$).
• Тело всплывает (поднимается со дна к свободной поверхности):
• Через силы: если сила тяжести меньше архимедовой силы ($F_{\text{тяж}} < F_{\text{А}}$).
• Через плотности: если плотность тела меньше плотности жидкости ($\rho_{\text{т}} < \rho_{\text{ж}}$).

1. Описание опыта с плавающим телом в отливном сосуде (рис. 158):

• Отливной сосуд заполняют водой до уровня сливного носика.
• Твердое тело (например, деревянный брусок) взвешивают в воздухе с помощью пружинного динамометра, определяя его вес $P = mg$.
• Тело аккуратно опускают в отливной сосуд. Тело всплывает и начинает плавать на поверхности воды, частично погрузившись.
• При этом объем воды, вытесненный погруженной частью тела, через носик выливается в подставленный стакан.
• Взвешивают вытекшую в стакан воду и сравнивают ее вес с ранее измеренным весом тела в воздухе.

2. Вывод по результатам опыта:

Вес вытесненной плавающим телом воды $P_{\text{ж}}$ в точности равен силе тяжести тела (его весу в воздухе $P$):

$$P_{\text{ж}} = P = mg.$$

Тело плавает на поверхности жидкости тогда, когда вес вытесненной им жидкости в объеме погруженной части равен весу самого тела в воздухе (архимедова сила полностью уравновешивает силу тяжести: $F_{\text{А}} = F_{\text{тяж}}$).

Глубина погружения (осадка) плавающего тела зависит от следующих факторов:

• От соотношения плотностей вещества тела и жидкости ($\rho_{\text{т}} / \rho_{\text{ж}}$):

Доля погруженного объема строго определяется формулой:

$$\frac{V_{\text{п. ч}}}{V_{\text{т}}} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}.$$

Чем меньше плотность тела по сравнению с плотностью жидкости, тем меньшая часть объема тела погружена в жидкость (меньше осадка).

• От плотности жидкости ($\rho_{\text{ж}}$):

В более плотной жидкости (например, в соленой морской воде по сравнению с пресной речной) то же самое тело погружается на меньшую глубину, так как необходимый для уравновешивания вес вытесненной жидкости достигается при меньшем объеме погруженной части.

• От геометрической формы тела и площади его горизонтального сечения:

При одной и той же массе тело с широким плоским днищем погрузится на меньшую глубину (осадку), чем узкое вертикальное тело.

Биологические особенности водных обитателей:

• Близость средней плотности к плотности воды:

Плотность большинства тканей живых организмов (мышц, костей, жира) в среднем очень мало отличается от плотности воды ($\rho \approx 1000\text{–}1050\text{ кг/м}^3$). Поэтому развиваемая выталкивающая архимедова сила практически полностью компенсирует силу тяжести, удерживая организм во взвешенном состоянии.

• Наличие плавательного пузыря у костистых рыб:

Плавательный пузырь наполнен смесью газов (кислород, азот, углекислый газ), поступающих из кровеносных капилляров.

• Для погружения рыба с помощью мышц сжимает плавательный пузырь (или поглощает газ в кровь): объем тела уменьшается, средняя плотность становится больше плотности воды ($\rho_{\text{рыбы}} > \rho_{\text{воды}}$), и рыба погружается глубже.
• Для подъема мышцы расслабляются, газы выделяются в пузырь: объем увеличивается, средняя плотность уменьшается ($\rho_{\text{рыбы}} < \rho_{\text{воды}}$), и архимедова сила поднимает рыбу вверх.
• Регуляция плавучести у других видов:
• Акулы и скаты (не имеющие плавательного пузыря) регулируют плавучесть за счет огромной жирной печени (жир менее плотен, чем вода) и постоянного гидродинамического движения грудных плавников.
• Киты и тюлени используют толстый подкожный слой ворвани (жира), снижающий общую плотность тела.

Объяснение на основе средней плотности и объема:

• Гвоздь: представляет собой сплошной кусок стали. Плотность сплошной стали составляет $\rho_{\text{стали}} = 7800\text{ кг/м}^3$, что почти в $8$ раз больше плотности воды ($\rho_{\text{воды}} = 1000\text{ кг/м}^3$). Поскольку $\rho_{\text{стали}} > \rho_{\text{воды}}$, сила тяжести гвоздя значительно превышает архимедову силу ($F_{\text{тяж}} > F_{\text{А}}$), и гвоздь мгновенно идет ко дну.
• Судно: корпус судна имеет огромный объем и не является сплошным. Внутри него находятся обширные полые пространства: трюмы, каюты, машинные отделения, заполненные воздухом с очень малой плотностью ($\rho \approx 1{,}29\text{ кг/м}^3$). В результате средняя плотность всего судна (полная масса корпуса, механизмов и груза, деленная на общий наружный объем подводной части) оказывается значительно меньше плотности воды ($\rho_{\text{ср}} < \rho_{\text{воды}}$). Судно вытесняет огромный объем воды, создавая колоссальную выталкивающую архимедову силу, полностью уравновешивающую вес корабля.

Назначение свинцовых утяжелителей у водолазов:

• Плотность тела человека, облаченного в водолазный костюм (особенно сухой гидрокостюм с прослойкой воздуха) и имеющего дыхательные баллоны с воздухом, меньше плотности воды.
• Вследствие этого архимедова сила превышает силу тяжести ($F_{\text{А}} > F_{\text{тяж}}$), и водолаза непрерывно выталкивает на поверхность воды, не позволяя опуститься на глубину.
• Тяжелые свинцовые грузы на груди, спине и массивные свинцовые подошвы башмаков обладают огромной плотностью ($\rho_{\text{свинца}} = 11\,300\text{ кг/м}^3$) и при малом собственном объеме существенно увеличивают силу тяжести системы:
• это обеспечивает равенство $F_{\text{тяж}} \approx F_{\text{А}}$ (нулевую или слегка отрицательную плавучесть), позволяя свободно погружаться;
• утяжеленные башмаки опускают центр тяжести вниз, придавая водолазу устойчивое вертикальное положение при ходьбе по грунту морского или речного дна.

Анализ плавания бутылки с ртутью:

• Плотность ртути равна $\rho_{\text{ртути}} = 13\,600\text{ кг/м}^3$, а плотность обычного силикатного стекла составляет $\rho_{\text{стекла}} \approx 2500\text{ кг/м}^3$.
• Вся система состоит из стеклянной оболочки и налитой внутрь ртути. Средняя плотность этой системы рассчитывается как:

$$\rho_{\text{ср}} = \frac{m_{\text{стекла}} + m_{\text{ртути}}}{V_{\text{стекла}} + V_{\text{ртути}}}.$$

• Так как плотность стекла ($\approx 2500\text{ кг/м}^3$) существенно меньше плотности внешней окружающей ртути ($13\,600\text{ кг/м}^3$), средняя плотность бутылки с ртутью неизбежно окажется меньше плотности чистой ртути ($\rho_{\text{ср}} < \rho_{\text{ртути}}$).
• Вывод: стеклянная бутылка, доверху заполненная ртутью, будет плавать в ртути, слегка выступая своим стеклянным горлышком и стенками над поверхностью ртути.